Question

considere dois triângulos equiláteros cujos lados medem 15 cm.
Os dois triângulos formam uma estrela regular com seis pontos.
Qual é a área da região sombreada?​

Answer 1

Área procurada $=65,1$

Sejam dois triângulos equiláteros de lado $l= 15$

Ao intersecta-los como é mostrado na figura, formando uma estrela regular, temos que cada ponta da estrela (a parte não pintada) possui lado de medida $l' =\frac{l}{3}= 5$

A área de um triângulo é dado pela seguinte expressão $Area = \frac{base \times altura}{2}$

No caso de um triângulo equilátero, podemos obter a altura h pelo teorema de pitágoras:

sendo $l'$ o lado do triângulo e tomando a metade do outro lado, temos um triângulo retângulo e podemos obter a altura $h$

$l'^2=h^2+\dfrac{l^2}{4}\\h^2=\dfrac{3l'^2}{4}\\h=\dfrac{\sqrt3}{2}l'$

então a área de um triâgulo branco (com lado de 5 cm) tem o valor $\frac{{l'}^2 \times \sqrt{3}}{4} = \frac{{5}^2 \times \sqrt{3}}{4} = 10,8 cm^2$

a área de um dos triângulos grande (com lado de 15 cm) tem o valor $\frac{{l'}^2 \times \sqrt{3}}{4} = \frac{{15}^2 \times \sqrt{3}}{4} = 97,5 cm^2$

A área da figura pintada é a área de um triângulo grande menos a área dos três triângulos pequenos

Área procurada $=97,5-3*10,8=65,1$