Question

Considere dois terrenos de mesma área, um dos quais Paulo deve escolher para compra. O primeiro terreno tem largura dada por x² - 5x + 6 e comprimento dado por x² - 5x + 4. Se a largura do segundo terreno é dada por x² -3x +2, qual é seu comprimento?

Answer 1

Resposta:

$C_{2} = x^{2} - 7x + 12$

Explicação passo a passo:

Vamos lá!

A questão determina que as áreas dos dois terrenos são as mesmas, ou seja:

$A_{1} = A_{2} = A$

Outra coisa que sabemos é que:

$A = Comprimento * Largura$

Chamemos:

$C(x)$ : Função comprimento

$L(x)$ : Função largura

• Temos o terreno 1 com as seguintes dimensões:

$C_{1} = x^{2} - 5x + 4 \\L_{1} = x^{2} - 5x + 6$

Portanto

$A_{1} = C_{1} * L_{1} \\\\A_{1} = (x^{2} - 5x + 4) * (x^{2} - 5x + 6)$

• Temos o terreno 2 com as seguintes dimensões:

$C_{2} = ? \\L_{2} = x^{2} - 3x + 2$

Portanto

$A_{2} = C_{2} * L_{2} \\\\A_{2} = C_{2} * (x^{2} - 3x + 2)$

Como sabemos do enunciado temos áreas iguais, então basta igualar:

$(x^{2} - 5x + 4) * (x^{2} - 5x + 6) = C_{2} * (x^{2} - 3x + 2)$

Minha recomendação, para facilitar essa conta, devido ao fato de termos produtos de ambos os lados é fatorar os polinômios em fatores de primeiro grau, dado que todos os polinômios são do $2^{o}$ grau, sabemos que sua forma fatorada é:

$P(x) = a(x - x_{1} )(x - x_{2})$

Sendo $x_{1}$ e $x_{2}$ as raízes do polinômio P(x).

Retomando

$(x^{2} - 5x + 4) * (x^{2} - 5x + 6) = C_{2} * (x^{2} - 3x + 2)\\\\(x-4)(x-1)(x-2)(x-3) = C_{2} * (x-1)(x-2)$

Veja que o termos $(x-1)$ e $(x-2)$ estão compondo ambos os lados da igualdade, então basta dividir ambos os lador por: $(x-1)(x-2)$

$\frac {(x-4)(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)} = \frac {C_{2} * (x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}\\\\C_{2} = (x-4)(x-3)\\\\C_{2} = x^{2} - 7x + 12$