Question

Considere dois números a e b inteiros tais que a deixa resto 3 quando dividido por 13 e b deixa resto 2 quando dividido por 13. O resto da divisão de a^2 - b^2 por 13 é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Answer 1

Resposta: alternativa e) 5.

Explicação passo a passo:

De acordo com o enunciado, podemos escrever as seguintes congruências:

     $\left\{\begin{array}{lc}a\equiv 3\quad\mathrm{(mod~13)}&\quad\mathrm{(i)}\\ b\equiv 2\quad\mathrm{(mod~13)}&\quad\mathrm{(ii)}\end{array}\right.$

Somando as congruências (i) e (ii) membro a membro, obtemos

     $\Longrightarrow\quad a+b\equiv 3+2\quad\mathrm{(mod~13)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a+b\equiv 5\quad\mathrm{(mod~13)}\qquad\mathrm{(iii)}$

Subtraindo as congruências (i) e (ii) membro a membro, obtemos

     $\Longrightarrow\quad a-b\equiv 3-2\quad\mathrm{(mod~13)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a-b\equiv 1\quad\mathrm{(mod~13)}\qquad\mathrm{(iv)}$

Multiplicando as congruências (iii) e (iv) membro a membro, temos

     $\Longrightarrow\quad (a-b)\cdot (a+b) \equiv 5\cdot 1\quad\mathrm{(mod~13)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a^2-b^2\equiv 5\quad\mathrm{(mod~13)}\qquad\checkmark$

Resposta: alternativa e) 5.

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