Question

Considere dois jogadores de futebol, A e B, em um campo totalmente horizontal. Inicialmente, os dois jogadores estão parados, sendo de 18 m a distância horizontal (reta) entre eles. O jogador A chuta a bola, lançando-a a uma velocidade de módulo v0, que forma um ângulo de 45o em relação ao solo. No mesmo instante em que a bola é lançada (t = 0s), o jogador B começa a correr, seguindo a bola a uma velocidade constante de módulo vB = 5 2 m/s (aproximadamente 7,1 m/s). Quando a bola toca novamente o solo, o jogador B está a uma distância 2,0 m atrás da bola, como mostra a figura. Considere sen45=cos45=1,4/2

Answer 1

Dados:

Para o movimento oblíquo da bola, teremos:

$\theta=\frac{\pi}{4}\\ v_0=v_0\\ v_{0_x}=v_0\cos{\theta}\\ v_{0_y}=v_0\sin{\theta}$

Para o movimento do jogador B (sendo R o alcance da bola), teremos:

$x_{B_i}=18\ m\\ x_{B_f}=R-2\\ v_B=5\sqrt{2}\ m/s$

Resolução:

O tempo do movimento do jogador B será:

$x_{B_f}=x_{B_i}+v_Bt\ \therefore\ t=\dfrac{x_{B_f}-x_{B_i}}{v_B}$

O tempo do movimento da bola será:

$t=\dfrac{2v_0_y}{g}\ \therefore\ t=\dfrac{2v_0\sin{\theta}}{g}$

O alcance da bola será:

$R=\dfrac{v_0^2\sin{2\theta}}{g}\ \therefore\ R=\dfrac{2v_0^2\sin{\theta}\cos{\theta}}{g}$

Como os tempos para os dois movimentos são iguais, teremos que:

$\dfrac{x_{B_f}-x_{B_i}}{v_B}=\dfrac{2v_0\sin{\theta}}{g}\ \therefore\ x_{B_f}-x_{B_i}=\dfrac{2v_Bv_0\sin{\theta}}{g}$

O deslocamento do jogador B será:

$x_{B_f}-x_{B_i}=R-2-18=\dfrac{2v_0^2\sin{\theta}\cos{\theta}}{g}-20\ \therefore$

$x_{B_f}-x_{B_i}=\dfrac{2}{g}\bigg(v_0^2\sin{\theta}\cos{\theta}-10g\bigg)$

Assim:

$\dfrac{2}{g}\bigg(v_0^2\sin{\theta}\cos{\theta}-10g\bigg)=\dfrac{2}{g}\bigg(v_Bv_0\sin{\theta}\bigg)\ \therefore$

$v_0^2(\sin{\theta}\cos{\theta})-v_0(v_B\sin{\theta})-10g=0\ \therefore\\\\ v_0=\dfrac{-(-v_B\sin{\theta})\pm\sqrt{(-v_B\sin{\theta})^2-4\sin{\theta}\cos{\theta}(-10g)}}{2\sin{\theta}\cos{\theta}}\ \therefore$

$\boxed{v_0=\dfrac{v_B\sin{\theta}\pm\sqrt{v_B^2\sin^2{\theta}+20g\sin{2\theta}}}{\sin{2\theta}}}$

Considerando $g\approx10\ m/s^2$, teremos:

$v_0\approx\dfrac{5\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\pm\sqrt{\big(5\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\big)^2+20(10)(1)}}{1}\approx5\pm\sqrt{225}\approx5\pm15$

Analisando o sentido do movimento da bola, sabemos que:$v_0>0\ \therefore\ v_0\approx5+15\ \therefore\ \boxed{v_0\approx20\ m/s}$