Question

Considere dois corpos celestes esféricos e uniformes, de raios R1 e R2, massas m1 e m2,

respectivamente, cujos centros encontram-se inicialmente em repouso, a uma distˆancia r0. Devido `a interação

gravitacional mútua, os corpos iniciam um movimento de aproximação, que dura até o choque entre eles.

Determine as velocidades finais dos corpos na iminência da colisão em função de G, r0, seus raios e suas

massas.​

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ As velocidades serão de V₁ = m₁·√(2G/r₀(m₁+m₂)) [u.v.] e V₂ = -m₂·√(2G/r₀(m₁+m₂)) [u.v.]. ✅  

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos rever a lei da gravitação universal, o princípio fundamental da dinâmica e as funções horárias da posição (para MRUV) e da velocidade.⠀⭐⠀

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                                  $\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}\green{\star}&&\green{\star}\\&\orange{\sf F_g = \dfrac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r_0^2}}&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$  

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⠀⠀⠀➡️⠀A força de atração gravitacional é a mesma sobre ambos os corpos, ou seja, ambos se atraem mutuamente - porém o de menor massa terá maior deslocamento conforme a força resultante que age sobre ele.  

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• ⚡ " -Qual é a equação para a força resultante?"  

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⠀ ⠀➡️⠀Pela Segunda Lei de Newton (Princípio Fundamental da Dinâmica) temos que a força resultante [Newtons] sobre um corpo, quando há um deslocamento de mesma direção que a força, equivale ao produto da massa deste corpo [Kgs] pela aceleração [m/s²] resultante dele:

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                                       $\quad\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}\green{\star}&&\green{\star}\\&\orange{\sf F_{res} = m \cdot a_{res}}&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$  

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⠀⠀⠀➡️⠀Sendo assim temos que sobre o corpo de massa m₁ temos duas equações para a força que age sobre ele, o que nos permite igualá-las:

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                              $\quad\Large\gray{\boxed{\sf\orange{~~\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf F_{res_1} = F_{g_1}}&\\&&\\&\Downarrow~~~~\Downarrow&\\&&\\&\orange{\sf \backslash\!\!\!{m}_1 \cdot a_{res_1} = \dfrac{G \cdot \backslash\!\!\!{m}_1 \cdot m_2}{r_0^2}}&\\&&\\&\Downarrow~~~~\Downarrow&\\&&\\&\orange{\sf a_{res_1} = \dfrac{G \cdot m_2}{r_0^2}}&\\&&\end{array}~~}}}$  

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⠀⠀⠀➡️⠀Sabemos portanto a aceleração de cada um destes corpos (sendo a aceleração do primeiro corpo positiva e do segundo corpo negativa). Vamos agora analisar qual será o tempo em que eles se encontrarão através da função horária da posição em MRUV (também chamada de fórmula do sorvetão):

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                           $\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}\green{\star}&&\green{\star}\\&\orange{\sf S(t) = S_0 + V_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}}&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$  

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⠀⠀⠀➡️⠀Seja portanto x a posição em que ambos os corpos se encontrarão. Podemos assim igualar a função horária de ambos para esta mesmo posição de forma que:

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$\LARGE\blue{\sf s_1(t) = s_2(t)}$  

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$\blue{\sf s_{1_0} + v_{1_0} \cdot t + \dfrac{a_1 \cdot t^2}{2} = s_{2_0} + v_{2_0} \cdot t - \dfrac{a_2 \cdot t^2}{2}}$  

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$\Large\blue{\sf \dfrac{G \cdot m_2}{2 \cdot r_0^2} \cdot t^2 = r_0 - \dfrac{G \cdot m_1}{2 \cdot r_0^2} \cdot t^2}$

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$\Large\blue{\sf t^2 \cdot \left(\dfrac{G \cdot m_2}{2 \cdot r_0^2} + \dfrac{G \cdot m_1}{2 \cdot r_0^2}\right) = r_0}$

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$\Large\blue{\sf t^2 = \dfrac{2 \cdot r_0^2 \cdot r_0}{G \cdot (m_2 + m_1)}}$

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$\Large\blue{\text{ \sf t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot r_0^3}{G \cdot (m_2 + m_1)}}~~[u.t.] }}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Conhecendo o tempo da colisão podemos agora utilizar a  função horária da velocidade para cada um dos corpos:

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                                  $\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\orange{\sf V(t) = V_0 + a \cdot t }&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$  

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    Encontrando V₁           ✍

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$\Large\blue{\text{ \sf v_1(t) = \dfrac{G \cdot m_2}{r_0^2} \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot r_0^3}{G \cdot (m_2 + m_1)}} }}$

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$\Large\blue{\text{ \sf v_1(t) = \sqrt{\dfrac{G^2 \cdot m_2^2}{r_0^4}} \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot r_0^3}{G \cdot (m_2 + m_1)}} }}$

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$\Large\blue{\text{ \sf v_1(t) = \sqrt{\dfrac{G^{\backslash\!\!\!{2}} \cdot m_2^2 \cdot 2 \cdot \backslash\!\!\!{r}_0^3}{\backslash\!\!\!{G} \cdot (m_2 + m_1) \cdot r_0^{\backslash\!\!\!{4}}}} }}$

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$\Large\blue{\text{ \sf v_1(t) = \sqrt{\dfrac{2 \cdot G \cdot m_2^2}{(m_2 + m_1) \cdot r_0}}~~[u.v.] }}$✅

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    Encontrando V₂           ✍

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$\Large\blue{\text{ \sf v_2(t) = -\sqrt{\dfrac{2 \cdot G \cdot m_1^2}{(m_2 + m_1) \cdot r_0}}~~[u.v.] }}$✅

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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