Question

Considere as séries de potência a seguir.
Conforme enunciado figura abaixo Qual é alternativa correta

Answer 1

Uma série de potências centrada em $a$ tem a forma

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n,$

onde $c_n \in \mathbb{R}$ para cada $n \in \mathbb{N}$.

O modo mais simples de calcular o raio de convergência é através da fórmula:

$r = \lim\limits_{n\to\infty}\left|\dfrac{c_n}{c_{n+1}}\right|,$

quando o limite existe. Neste caso, o intervalo de convergência da série é $\mathcal{I} = ]a-r, a+r[$.

Para a 1.ª série, verificamos que $a = 0$, ou seja, está centrada no ponto $x = 0$, e $c_n = \sqrt{n}$. O raio de convergência é então:

$r = \lim\limits_{n\to\infty}\left|\dfrac{c_n}{c_{n+1}}\right| = \lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right| = \sqrt{\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}} = \sqrt{1} = 1.$

O intervalo de convergência é então $\mathcal{I}=]0-1,0+1[ = ]-1,1[.$

Para a 2.ª série, verificamos que $a = 1$, ou seja, está centrada no ponto $x = 1$, e $c_n = \dfrac{1}{5^n n^5}$. O raio de convergência é então:

$r = \lim\limits_{n\to\infty}\left|\dfrac{c_n}{c_{n+1}}\right| = \lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{\frac{1}{5^n n^5}}{\frac{1}{5^{n+1} (n+1)^5}}\right| = \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{5^{n+1} (n+1)^5}{5^n n^5} =\\\\= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{5^n \times 5}{5^n}\times\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^5 = 5 \times 1^5 = 5.$

O intervalo de convergência é então $\mathcal{I}=]1-5,1+5[ = ]-4,6[.$