Question

Considere as retas dadas pelas equações r1: P=(1,0,-1)+t(1,1,1), t pertence aos RACIONAIS, e r2: P = t(-1,2,-1), pertence aos RACIONAIS, e os planos dados pelas equações π1: x + y + z = 0 e π2: 2x + 2y + 2z = 4. Assinale a ÚNICA alternativa correta:

Escolha uma:
a. O vetor v1=(1,1,1) diretor da reta r1 é paralelo ao vetor n2=(2,2,2) normal ao plano π2 e a reta é paralela ao plano.
b. π1 || π2 e a distância entre eles é zero.
c. As retas são reversas e a reta r2 está contida no plano π1
d. As retas r1 e r2 são ortogonais e coplanares.

Answer 1

Equações:

$\hookrightarrow$ Da reta (vetorial): $\mathsf{r : P = (x_0, y_0, z_0) \ + \ \lambda\cdot (v_x, v_y, v_z)}$

Em que $\mathsf{P}$ é um ponto qualquer da reta,  $\mathsf{P_0 \ = \ (x_0, y_0, z_0)}$ e $\mathsf{\vec{v} \ = \ (v_x, v_y, v_z)}$ é um vetor diretor dessa reta.

$\hookrightarrow$ Do plano (geral): $\mathsf{\pi : a\cdot x \ + \ b\cdot y \ + \ c\cdot z \ + \ d \ = \ 0}$

Em que $\mathsf{\vec{n} \ = \ (a, b, c)}$ é um vetor normal ao plano, $\mathsf{P \ = \ (x,y,z)}$ é um ponto qualquer do plano e $\mathsf{d}$ é um parâmetro que diferencia a família de planos com o mesmo vetor normal.

Logo,  $\mathsf{r_1 : P \ = \ (1,0,1) \ + \ t\cdot (1,1,1)}$ e $\mathsf{r_2 : P \ = \ (0,0,0) \ + \ u\cdot (-1,2,1)}$;    $\mathsf{\vec{v_1} \ = \ (1,1,1)}$ e $\mathsf{\vec{v_2} \ = \ (-1,2,-1)}$.

$\mathsf{\pi_1: x \ + \ y \ + \ z \ = \ 0}$ e $\mathsf{\pi_2 : 2\cdot x \ + \ 2\cdot y \ + \ 2\cdot z \ - \ 4 \ = \ 0}$, podemos simplificar essa equação para $\mathsf{\pi_2 : x \ + \ y \ + \ z \ - \ 2 \ = \ 0.}$

Veja que  $\mathsf{2\cdot \overrightarrow{\mathsf{n_{\pi_1}}} \ = \ \overrightarrow{\mathsf{n_{\pi_2}}} \ = \ (2,2,2)}$, ou seja, esses planos são paralelos.

$\mathsf{a) \ X \ \ }$    $\mathsf{2\cdot \vec{v_1} \ = \ \overrightarrow{\mathsf{n_{\pi_2}}}}$, então esses vetores são paralelos / múltiplos. Sendo $\mathsf{n_{\pi_2}}}$ o vetor normal (ortogonal) ao plano, $\mathsf{\vec{v_1}}$ e portanto $\mathsf{r_1}$ também é ortogonal a esse plano.

$\mathsf{b) \ X}$ Sendo os planos paralelos,o que os diferencia é justamente o parâmetro $\mathsf{d}$, que nada mais é do que a distância entre eles. Logo, a distância $\mathsf{dist(\pi_1, \pi_2) \ = \ 2.}$ Você pode ainda resolver usando concorrência entre retas, usando o vetor normal como o diretor de uma reta que intersecta os dois planos perpendicularmente.

$\mathsf{c) \ \checkmark}$ A reta $\mathsf{r_2}$ estará contida em $\mathsf{\pi_1}$ se o ponto dela $\mathsf{P_0 \ = \ (0,0,0)}$ satisfazer à equação geral do plano e se $\mathsf{\vec{v_1} \bullet \overrightarrow{\mathsf{\pi_1}} \ = \ 0}$.

$\mathsf{P_0 \in \pi_1}$ $\mathsf{(0 \ + \ 0 \ + \ 0 \ = \ 0)}$

$\mathsf{(-1,2,-1) \bullet (1,1,1) \ = \ -1 \ + \ 2 \ -1 \ = \ 0}$

Ou seja, $\mathsf{r_2 \subset \pi_1}$

Agora, falta vermos se as retas são reversas. Elas já não são paralelas pois $\mathsf{\nexists \ \mu \ | \ \mu \cdot \vec{v_1} \ = \ \vec{v_2}}$.

Para serem reversas, não podem ter ponto em comum (concorrência).

Para um ponto concorrente, se houver, teremos que:

$\mathsf{P \ \in \ r_1 \ \rightarrow x_P \ = \ 1 \ + \ t, y_P \ = \ t, z_P \ = \ -1 \ + \ t, \ t \in \mathbb{R}}$

$\mathsf{P \ \in \ r_2 \ \rightarrow x_P \ = \ -u, y_P \ = \ 2\cdot u, z_P \ = \ -u, \ u \in \mathbb{R}}$

Igualando coordenada a coordenada, vemos que o sistema é impossível, ou seja, não há ponto concorrente entre as retas. Logo, elas são reversas.

$\mathsf{d) \ X}$ As retas são sim ortogonais, porque, fazendo $\mathsf{\vec{v_1} \bullet \vec{v_2} \ = \ (1,1,1) \bullet (-1,2,-1) \ = \ 0}$.

Elas serão coplanares se existir um plano em que seu vetor normal for mutualmente ortogonal a ambas (podemos determiná-lo pelo $\mathsf{\vec{v_1} \wedge \vec{v_2}}$) e que contenha os pontos delas $\mathsf{P_1 \ =\ (0,0,0)}$ e $\mathsf{P_2 \ = \ (1,0,-1)}$.

Determinando o normal $\mathsf{\overrightarrow{n_{\pi_3}}}$ desse suposto plano:

$\mathsf{\overrightarrow{n_{\pi_3}} \ = \ \vec{v_1} \wedge \vec{v_2}} \\\\\\\\\mathsf{\overrightarrow{n_{\pi_3}} \ = \ \left[\begin{array}{ccc}\mathsf{\hat i}&\mathsf{\hat j}&\mathsf{\hat k}\\1&1&1\\-1&2&-1\end{array}\right] } \\\\ \\\\\mathsf{\overrightarrow{n_{\pi_3}} \ = \ (-3,0,3)}$

Então, $\mathsf{\pi_3 : -3\cdot x \ + \ 3\cdot z \ + \ d \ = \ 0}$

Se $\mathsf{d}$ for o mesmo para os dois pontos, temos o plano procurado:

$\mathsf{P_1 \ \Rightarrow \ 0 \ + \ 0 \ + \ d_1 \ = \ 0 \rightarrow \ d \ = \ 0} \\\\\\\mathsf{P_2 \ \Rightarrow \ 1\cdot -3 \ + \ -1\cdot 3 \ + \ d \ = \ 0 \rightarrow \ d_2 \ = \ 6}$

$\mathsf{d_1 \ \neq \ d_2 \ \therefore}$

Portanto, $\mathsf{\nexists \ \pi_3 \ | \ r_1, r_2\ \subset \ \pi_3.}$