Question

considere as quatro frações irredutíveis de números inteiros positivos correspondentes aos números:
0,888 0,888....8,888.... e 2,34545...45...
A soma dos denominadores dessas quatro frações é igual a:
a)194
b)195
c)196
d)197
e)198

Answer 1

Olá!

    Temos:

      -      $0,888=\dfrac{888}{1000}$

      -      $0,888... = \dfrac{8}{9}$

      -      $8,888...=8+0,888...=8+\dfrac{8}{9}=\dfrac{72}{9}+ \dfrac{8}{9}=\dfrac{80}{9}$

     -       $2,3454545... = \dfrac{2345-23}{990}=\dfrac{2.322}{990}$

    Explicação:
 
    Para encontrar a fração geratriz, há o seguinte procedimento prático (há também outros métodos como o uso da PG, mas aqui utilizarei o método prático):

    (parte inteira junto com "termo solto" junto com parte periódica) menos (parte inteira junto com "termo solto")   $\div$   (quantidade de números 9 referente à quantidade de algarismos do período junto com quantidade de zeros referente à quantidade de algarismos do "termo solto")

    "Termo solto" = algarismos que não se repetem, localizados depois da vírgula e antes do período. Também chamado de antiperíodo.    

    Parte inteira: números antes da vírgula

    Período: números depois da vírgula que sempre se repetem.

    Se a parte inteira e o termo solto não existirem, basta substituir pelo número zero no método descrito acima.

    Na prática: 

    no exemplo do número 2,3454545.... temos:

        Parte inteira: 2
        Termo solto: 3
        Período: 45
        Quantidade de algarismos do período: 2
        Quantidade de algarismos do termo solto: 1


    a fração ficará assim: numerador = $2345-23$
                                       denominador = $990$

     Logo, a fração geratriz será a fração 

            $\dfrac{2.322}{990}$

    Mas o exercício pede a fração irredutível, então precisamos simplificá-las:

    $\dfrac{888}{1.000}=\dfrac{444}{500}=\dfrac{222}{250}=\dfrac{111}{125} \\ \\ \\ \dfrac{2.322}{990} =\dfrac{1.161}{495}=\dfrac{387}{165}=\dfrac{129}{55}$


    
    Portanto, as frações geratrizes irredutíveis são:

    $\dfrac{111}{125} \; , \;\;\dfrac{8}{9} \; , \; \; \dfrac{80}{9} \; \; e \; \; \dfrac{129}{55}$


    Somando os denominadores: 
    
    $125+9+9+55=198$



   Gabarito ( e ).


Bons estudos!