Question

Considere as proposições, sendo b>a, a e b reais:

imagem anexada!

podemos afirmar que:

a) todas são corretas
b) I é incorreta
c)II é incorreta
d)III é incorreta
e)todas são incorretas

a resposta é b, queria entender

Answer 1

Olá Cabral!

1)

Por definição,

$\int\limits^b_a {F(x)} \, dx = - \int\limits^a_b {F(x)} \, dx$

Pois, 

b > a, Se subtrairmos o menor pelo maior, a integral seria negativa. Por isso tem o sinal de menos.

Se multiplicarmos por menos 1 os dois lados, ficaremos:

$- \int\limits^ b_a {F(x)} \, dx = \int\limits^a_b {F(x)} \, dx$

Então é verdadeira!
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2)

$- \int\limits^c_a {F(x)} \, dx + \int\limits^b_c {F(x)} \, dx = \int\limits^b_a {F(x)} \, dx$

Vamos usar propriedade de integral na primeira.

$- \int\limits^c_a {F(x)} \, dx = -[ \int\limits^b_a {F(x)} \, dx + \int\limits^c_b {F(x)} \, dx]$

Substituindo na igualdade:

$\\ -[ \int\limits^b_a {F(x)} \, dx +\int\limits^c_b {F(x)} \, dx] +\int\limits^b_c {F(x)} \, dx= \int\limits^b_a {F(x)} \, dx \\ \\ - \int\limits^b_a {F(x)} \, dx - \int\limits^c_b {F(x)} \, dx + \int\limits^b_c {F(x)} \, dx = \int\limits^b_a {F(x)} \, dx \\ \\ - \int\limits^c_b {F(x)} \, dx + \int\limits^b_c {F(x)} \, dx = 2 \int\limits^b_a {F(x)} \, dx \\ \\ - \int\limits^c_b {F(x)} \, -\int\limits^c_b {F(x)} \, = 2 \int\limits^b_a {F(x)} \, dx$


$\\ - 2 \int\limits^c_b {F(x)} \, = 2 \int\limits^b_a {F(x)} \, dx \\ \\ \\ - \int\limits^c_b {F(x)} \, = \int\limits^b_a {F(x)} \, dx$

Falsa, intervalos diferentes!
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3)

$\\ -[ \int\limits^b_a {f(x)-g(x)]} \, dx = \int\limits^b_a {F(x)} \, dx - \int\limits^a_b{G(x)} \, dx,?$

Aplicando distributiva...


$\\ - \int\limits^b_a {F(x)} \, dx + \int\limits^b_a {G(x)} \, dx \neq \int\limits^b_a {F(x)} \, dx -\int\limits^b_a {G(x)} \, dx$

Não , só seria verdadeiro...

Se, uma das igualdades tivesse os limites de integração invertido.

Desse modo, aparecia o sinal de menos. De maneira que ambos os lados teriam as mesmas função com os mesmos sinais.