Question

Considere as parábolas de equação Y=x²-3x+2 e y=-x²+4.Determine a lei da função afim cujo o gráfico passa pelos pontos de interseção dessas parabolas.

Answer 1

Oi Luana :)

Primeiro vamos igualar as duas funções para saber em quais pontos elas se interceptam:

x²-3x+2=-x²+4
x²+x²-3x+2-4=0
2x²-3x-2=0

Δ=(-3)²-4.2.(-2)
Δ=9+16
Δ=25

x= -(-3)+-√25  / 2.2
x=3+-5 /4
x'=-2/4            x''=8/4
x'=-1/2            x''=2

Esses são os pontos onde as parábolas se interceptam.
Só precisamos saber os seus correspondentes em y para forma o ponto por completo.
Então vamos substituir esses valores de x encontrados em qualquer uma das equações.
Vamos escolher a mais fácil, é claro ;)

x=-1/2                  x=2  

y= -x²+4              y= -x²+4
y= -(1/2)²+4        y= -2²+4
y=-1/4 +4            y= -4+4
y=15/4                y= 0

P(-1/2 , 15/4)        P (2,0)

Prontinho. Agora temos dois pontos. E sabemos que com dois pontos podemos fazer qualquer reta. 
A função afim é do tipo y=ax+b

Substituindo os pontos encontrados

x= -1/2 , y=15/4

$y=ax+b \\ \\ \frac{15}{4}=a( -\frac{1}{2})+b \\ \\ -\frac{a}{2}+b= \frac{15}{4}$

x=2  , y= 0
$y=ax+b \\ 0=a.2+b \\ \\ 2a+b=0$

Agora vamos resolver esse sistema pra encontramos o valor de a e b :

$\left \{ {{ -\frac{a}{2} +b= \frac{15}{4} } \atop {2a+b=0}} \right. \ \ Mulitplica\ L1 \ por (-1) \\ \\ \left \{ {{ \frac{a}{2} -b= -\frac{15}{4} } \atop {2a+b=0}} \right. \\ \frac{5a}{2}=- \frac{15}{4} \\ \\ 20a=-30 \\ \\ a=- \frac{30}{20} \\ \\ \boxed{a=- \frac{3}{2} }$

Se a=-3/2

$2a+b=0 \\ \\ 2(- \frac{3}{2} )+b=0 \\ \\ -3+b=0 \\ \\\boxed{ b=3}$

Agora podemos montar nossa função afim:

$y=ax+b \\ \\ \boxed{y=- \frac{3}{2}x+3 }$

Espero que goste :) 
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