Question

Considere as Matrizes M= $\left[\begin{array}{ccc}1&-1\\0&1\end{array}\right]$, N=$\left[\begin{array}{ccc}1&0\\3&2\end{array}\right]$, P=$\left[\begin{array}{ccc}0\\1\end{array}\right]$ e X$\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]$, Se X é solucao de M$M^{-1}. N. X=P$, entao $x^{3} + y^{2}$ é igual a :
a)-3
b)4
c)3
d)-5
e)5

Answer 1

Oi Bia.

Antes de multiplicar tudo isso aí, vamos achar a Matriz inversa de M.

$M= \left[\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}\right]$

Primeiro vamos achar o determinante dessa Matriz.

$detM=1+0 \\ detM=1$

Agora para achar a Inversa vamos trocar de posição os elementos da diagonal principal e mudar de sinal os da diagonal secundária, ficando assim:

$M= \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]$

Por último temos que dividir todos os termos da Matriz M pelo determinante, mas não irá mudar nada, já que o determinante é 1 e os outros elementos são 0 e 1.
A matriz inversa é essa.

$M^-^1= \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]$

Agora vamos multiplicar essa Matriz inversa M pela N.

$M^-^1= \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right] *N= \left[\begin{array}{cc}1&0\\3&2\end{array}\right]$

Basta fazer linha do M vezes coluna do N.


$M^-^1= \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right] *N= \left[\begin{array}{cc}1&0\\3&2\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}1+3&0+2\\0+3&0+2\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}4&2\\3&2\end{array}\right]$

Agora vamos pegar essa Matriz MN e multiplicar pela Matriz X.

$\left[\begin{array}{ccc}4&2\\3&2\end{array}\right]*x= \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}4x+2y\\3x+2y\end{array}\right]$

Agora é só igualar essa Matriz com a Matriz P.

$\left[\begin{array}{c}4x+2y\\3x+2y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0\\1\end{array}\right]$

Iremos encontrar um sistema de 1° grau, agora é só resolver.

$4x+2y=0\\ 3x+2y=1\quad (-1)\\ \\ 4x+2y=0\\ -3x-2y=-1\\ \\ x=-1\\ \\ 4(-1)+2y=0\\ -4+2y=0\\ 2y=4\\ y=\frac { 4 }{ 2 } \\ \\ y=2$

Agora sabemos os valores de X e Y, agora é só resolver essas potências e somar.

$x^3+y^2=1^3+2^4 \\ x^3+y^2=1+4 \\ x^3+y^2=5 \\ \\ S=\{ 5\}$

R:E