Question

Considere as matrizes
A= ( 1 k 0
1 -1 2)
e
B=(k 1
0 -2
3 1)

com K um número real positivo. Sabendo que A.B=C e que o Det C=34, o valor da soma dos elementos da diagonal secundária da matriz C é

a) 6
b) 4
c) 5
d) 2
e) 3

Answer 1

Vamos usar os conceitos e propriedades das matrizes.

Temos a matriz A (2x3):
$A = \left[\begin{array}{ccc}1&k&0\\1&-1&2\end{array}\right]$

E a matriz B (3x2):
$B = \left[\begin{array}{ccc}k&1\\0&-2\\3&1\end{array}\right]$

A multiplicação entre uma matriz mxn e outra nxp é igual a uma matriz mxp. Neste caso, A = 2x3 e B = 3x2 equivalem a C = 2x2.

A multiplicação é:
$C = AB = \left[\begin{array}{cc}k&-2k+1\\k+6&5\end{array}\right]$

O determinante de C é igual a 34, então temos que:
$det(C) = 5k - (-2k+1)(k+6) = 5k - (-2k^2-12k+k+6) \\ 34 = 5k +2k^2+12k-k-6 \\ 2k^2+16k-40 = 0$

Resolvendo esta equação por Bhaskara, temos as raízes k1 = 2 e k2 = -10.
Temos duas possibilidades de matriz C:
$C1 = \left[\begin{array}{cc}2&-3\\8&5\end{array}\right] \\ \\ C2 = \left[\begin{array}{cc}-10&21\\-4&5\end{array}\right]$

A soma da diagonal secundária de C1 é 5 e de C2 é 17.
Portanto a resposta é a letra C