Matemática, perguntado por nandachaves1, 4 meses atrás

Considere as matrizes A= 1 3 -2 3 ( quadrada 2x2 ) e B= 5 2 12 5 (quadrada 2x2)

Determine X sabendo que At +BX=0 em que 0 é a matriz nula de ordem 2

X=

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

⠀⠀Determinando a matriz X sabendo que Aᵗ + BX = 0, encontramos: $\boldsymbol{X=\left[\begin{array}{cc}1~&~16\\\!\!\!-3~&~\!\!\!\!\!-39\end{array}\right] }$

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Considerações

$\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}A=\left[\begin{array}{cc}1&3\\\!\!\!-2&3\end{array}\right]_{\sf2x2}\quad e\quad B=\left[\begin{array}{cc}5&2\\12&5\end{array}\right]_{\sf2x2}\end{array}}$

⠀⠀Essas são as duas matrizes quadradas dadas pela questão, e com elas desejamos calcular o valor de X na equação matricial abaixo:

$\qquad\quad\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}A^t+BX=0\end{array}}\\\\$

⠀⠀Obs.: 0 é a matriz nula de ordem 2, ou seja, $0=\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right]_{\sf2x2}$ , mas não é necessário substituí-la no lugar do zero, pois não alterará o resultado final.

⠀⠀Vale fazer alguns comentários acerca de Aᵗ e BX presentes na equação dada:

Aᵗ é a matriz transposta de A, sendo assim, é uma matriz deve ter as linhas iguais às colunas da matriz A;
BX é a matriz B multiplicada à matriz X — cuja essa desejamos encontrar — então nosso objetivo principal será isolar X usando as operações práticas conhecidas para resolver uma equação simples.

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Resolução

⠀⠀Começando da esquerda para a direita, vamos determinar a matriz transposta de A supramencionada. Em seguida iremos isolar BX, e assim volto às explicações com mais detalhes:

$\\\large\begin{array}{cc}A^t+BX=0\\\\\left[\begin{array}{cc}1&3\\\!\!\!-2&3\end{array}\right]^t+BX=0\\\\\left[\begin{array}{cc}1&~\!\!\!-2\\3&~~~3\end{array}\right]+BX=0\\\\BX=0-\left[\begin{array}{cc}1&~\!\!\!-2\\3&~~~3\end{array}\right]\\\\BX=\left[\begin{array}{cc}\!\!\!-1&~~~2\\\!\!\!-3&~\!\!\!-3\end{array}\right]\end{array}\\\\$

⠀⠀Veja que agora, a fim de isolar X pretendemos passar a matriz B pro outro lado dividindo — que é a operação prática de uma equação — e, consequentemente, ela passará a ser sua matriz inversa, ou seja, B⁻¹:

$\\\large\begin{array}{cc}BX=\left[\begin{array}{cc}\!\!\!-1&~~~2\\\!\!\!-3&~\!\!\!-3\end{array}\right]\\\\X=\dfrac{1}{B}\cdot\left[\begin{array}{cc}\!\!\!-1&~~~2\\\!\!\!-3&~\!\!\!-3\end{array}\right]\\\\X=B^{-1}\cdot\left[\begin{array}{cc}\!\!\!-1&~~~2\\\!\!\!-3&~\!\!\!-3\end{array}\right]\end{array}\\\\$

⠀⠀Para se obter a matriz inversa de B basta dividir todos os elementos de B por seu determinante, que é obtido fazendo a diferença do produto da diagonal principal pelo produto da diagonal secundária, ou seja:

det(B) = 5 · 5 – (12 · 2)
det(B) = 25 – 24
det(B) = 1

⠀⠀Como o determinante é igual a 1 não é preciso dividir os elementos por ele já que não fará diferença. Sendo assim, o próximo passo será comutar os elementos da diagonal principal e por fim inverter os sinais dos elementos da diagonal secundária:

$\\\large\begin{array}{cc}X=\left[\begin{array}{cc}5&2\\12&5\end{array}\right]^{-1}\cdot\left[\begin{array}{cc}\!\!\!-1&~~~2\\\!\!\!-3&~\!\!\!-3\end{array}\right]\\\\X=\left[\begin{array}{cc}5~&\!\!\!-2\\\!\!\!-12~&5\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}\!\!\!-1&~~~2\\\!\!\!-3&~\!\!\!-3\end{array}\right]\end{array}\\\\$

⠀⠀Por fim, para realizar o produto dessas duas matrizes basta fazer a soma do produto das linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz:

$\\\large\begin{array}{ccc}X=\begin{bmatrix}5\cdot(-1)+(-2)\cdot(-3)&5\cdot2+(-2)\cdot(-3)\\-12\cdot(-1)+5\cdot(-3)&-12\cdot2+5\cdot(-3)\end{bmatrix}\\\\X=\left[\begin{array}{cc}-5+6&10+6\\12-15&-24-15\end{array}\right]\\\\\!\boldsymbol{\boxed{X=\left[\begin{array}{cc}1~&~16\\\!\!\!-3~&~\!\!\!\!\!-39\end{array}\right]}}\end{array}\\\\$

⠀⠀Conclui-se, portanto, que essa é a matriz X que desejávamos encontrar. Se estiver com dúvidas quanto a esse resultado, faça a prova real substituindo o valor de X na equação dada e verás a igualdade será verdadeira pois resultará em 0 ou na matriz nula de ordem 2. Assim comprova-se que o valor de X é verdadeiro.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$