Question

Considere as igualdades

4x - $\frac{3-x}{2}$ = 21 e $\frac{y-3}{2}$ = $\frac{1}{y+2}$ + $\frac{3}{2}$

A soma do valor real de x que satisfaz a primeira igualdade com a soma de todos os valores reais de y que satisfazem a segunda igualdade é:

a) -3
b) 9
c) 73/7
d) 11
e) 87/7

Answer 1

Devemos resolver as equações e somar suas raízes.

$\displaystyle 4x - \frac{3-x}{2} = 21$

$\displaystyle \mathrm{Multiplicamos \, cada \, termo \, por \, 2:} \\ \\ 8x - 3 - x = 42$

$\displaystyle 7x = 42 + 3$

$\displaystyle x = \frac{45}{7}$

Agora:

$\displaystyle \frac{y-3}{2} = \frac{1}{y+2} +\frac{3}{2}$

$\displaystyle y - 3 = \frac{2}{y+2} + 3$

$\displaystyle y-3-3 = \frac{2}{y+2}$

$\displaystyle y - 6 =\frac{2}{y+2}$

$\displaystyle (y-6)(y+2) = 2$

$\displaystyle y^2 + 2y -6y -12 = 2$

$\displaystyle y^2 -4y -12 -2 = 0$

$\displaystyle y^2 -4y -14 = 0$

Por ser uma equacão de 2.° grau, vamos usar Bhaskara:

$\displaystyle \Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4(1)(-14) \\ = 16 + 56 = 72$

As raízes serão:

$\displaystyle y' = \frac{- (-4) + \sqrt[]{72}}{2 \cdot 1}$

$\displaystyle y' = \frac {4 + 6 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{2}}{2}$

$\displaystyle y' = 2 + 3 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{2}$

E:

$\displaystyle y'' = 2 - 3 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{2}$

Logo, a soma será:

$\displaystyle S = \frac{45}{7} + 2 + 3 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{2} + 2 - 3 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{2}$

$\displaystyle S = \frac{45}{7} + 4$

$\displaystyle S = \frac{45}{7 } + \frac{4 \cdot 7}{1 \cdot 7}$

$\displaystyle S = \frac{45}{7} + \frac{28}{7}$

$\displaystyle S = \frac{45+28}{7}$

$\displaystyle S = \frac{73}{7}$

Item c.

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