Question

Considere as funções polinomiais f,g: R → R definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = x2, para todo x real. Nessas condições, analise cada um dos seguintes itens. I. As funções f e g são sobrejetoras. II. Os domínios das funções h(x) = (f.g)(x) e u(x) = f(x)/g(x) se diferem por um único número real. III. A equação f(x) = g(x) tem duas raízes reais. IV. A inversa de f é a função f -1(x) = x - 1.

Answer 1

Todas as afirmativas estão corretas.

Vamos analisar cada afirmativa.

I. A função f é uma função do primeiro grau, enquanto que a função g é uma função quadrática.

Para uma função ser sobrejetora, temos que o conjunto imagem é igual ao contradomínio.

As duas funções satisfazem essa definição. Portanto, a afirmativa está correta.

II. Fazendo a função h, obtemos:

h(x) = (x + 1).x²

h(x) = x³ + x².

O domínio da função h são todos os reais.

Fazendo a função u, obtemos:

u(x) = (x + 1)/x²

O domínio da função u são todos os reais, menos o 0, ou seja, IR - {0}.

Portanto, a afirmativa está correta.

III. Sendo f(x) = g(x), obtemos:

x + 1 = x²

x² - x - 1 = 0.

Calculando o valor de delta:

Δ = (-1)² - 4.1.(-1)

Δ = 1 + 4

Δ = 5.

Como Δ > 0, então a função f(x) = g(x) possui duas raízes reais.

A afirmativa está correta.

IV. Para determinar a inversa da função f, vamos trocar o x pelo y e o y pelo x:

x = y + 1.

Isolando o y:

y = x - 1.

Portanto, f⁻¹(x) = x - 1.

A afirmativa está correta.

Answer 2

Resposta:

A alternativa I é  Incorreta, porque a função g(x), função quadrática não é sobrejetora para os todos os R. Apenas para os R+

Portanto, as alternativas corretas são: II, III e IV

Explicação passo a passo: