Question

considere as funções--- f(x,y)= x²y² / x^4+y^4, se (x,y) diferente de 0 e 0, se (x,y)=0
A respeito analise quais são corretas
1 - ao longo das retas y=cx, o valor da função f é constante?
2- a função f é descontinua em (0,0)
3- a função satisfaz f(x,y) < 1/2, quaisquer que sejam (x,y) E R² com x diferente de y

Answer 1

Resposta:

1) verdadeira

2) verdadeira

3) falsa

Explicação passo-a-passo:

Vamos analisar cada uma das afirmações.

1)  Verdadeiro. Os pontos da reta y=cx são os da forma (x,cx). Assim para pontos dessa forma temos:

$f(x,cx) = \dfrac{x^2 (cx)^2}{x^4 + (cx)^4} = \dfrac{c^2 x^4}{(1+c^4)x^4} = \dfrac{c^2}{1+c^4}$

Note que para cada valor de x temos um ponto distinto da reta. Mas pra todos esses pontos, f assume o mesmo valor, que é c² / (1+c⁴). Isso quer dizer que f é constante ao longo da reta y = cx.

2) Verdadeiro. De fato, como vimos no item anterior, a função é constante ao longo da reta y = cx. Mas note que para cada valor de c temos uma reta diferente. Assim, por exemplo, para c = 2, a função vale 2²/(1+2⁴) ao longo da reta y = 2x. Assim, ao aproximarmos da origem por essa reta, o limite será 2²/(1+2⁴). Mas f(0,0) = 0. Assim, nao podemos ter lim f(x,y) = f(0,0) (Na verdade o limite nem existe). Portanto f é descontínua em (0,0).

3) Falso. Se x = 1 e y = -1 por exemplo, temos f(x,y) = 1/2 que não é menor que 1/2.

Obs.: Caso fosse a desigualdade fosse ≤ no lugar de <, a última afirmação seria verdadeira:

De fato note que (x² - y²)² não é negativo, pois é o quadrado de um número. Ou seja, para (x,y) diferente de (0,0) temos:

(x²-y²)² ≥ 0

x⁴ - 2x²y² + y⁴ ≥ 0

2x²y² ≤ x⁴ + y⁴

x²y² / (x⁴+y⁴) ≤ 1/2

Ou seja f(x,y) ≤ 1/2