Question

Considere as funções f(x, y) = x2 + 2y2 e g(x, y) = x2 + y2 - 1. Calcule os valores extremos de f sob a restrição g.

Alternativa 1:
O máximo é igual a 1 e o mínimo é igual a 0.

Alternativa 2:
O máximo é igual a 2 e o mínimo é igual a 0.

Alternativa 3:
O máximo é igual a 3 e o mínimo é igual a 0.

Alternativa 4:
O máximo é igual a 2 e o mínimo é igual a 1.

Alternativa 5:
O máximo é igual a 3 e o mínimo é igual a 1.

Answer 1

A função $f$ dada por

$f(x,y) = x^2+2y^2$

sob a restrição $g$ dada por

$g(x,y) = x^2+y^2-1$

tem valores extremos nos pontos $(x,y)$ que são solução do sistema

$\begin{cases}\vec{\nabla}f(x,y)=\lambda\vec{\nabla}g(x,y)\\g(x,y)=0\end{cases}, \quad \lambda\in\mathbb{R}.$

Os gradientes de $f$ e $g$ são, respetivamente:

$\vec{\nabla}f(x,y) = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) = \left(\dfrac{\partial }{\partial x} (x^2+2y^2),\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2+2y^2)\right) = (2x, 4y);$

$\vec{\nabla}g(x,y) = \left(\dfrac{\partial g}{\partial x},\dfrac{\partial g}{\partial y}\right) = \left(\dfrac{\partial }{\partial x} (x^2+y^2-1),\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2-1)\right) = (2x, 2y).$

Substituindo no sistema, vem:

$\begin{cases}\vec{\nabla}f(x,y)=\lambda\vec{\nabla}g(x,y)\\g(x,y)=0\end{cases} \iff \begin{cases}(2x,4y)=\lambda(2x,2y)\\x^2+y^2=1\end{cases}\iff\begin{cases}x=x\lambda \\ 2y = y\lambda\\x^2+y^2=1\end{cases} \iff$

$\iff \begin{cases}x(1-\lambda)=0\\ y(2-\lambda)=0\\x^2+y^2=1\end{cases} \iff \begin{cases}x=0 \textrm{ ou }\lambda = 1\\ y = 0 \textrm{ ou }\lambda = 2\\x^2+y^2=1\end{cases}.$

Analisemos o último sistema. Note-se que, por um lado, é impossível que $\lambda$ seja simultaneamente $1$ e $2$ e, por outro, é impossível que $x=y=0$, pois nesse caso a 3.ª equação seria violada. Assim, verificamos que as soluções possíveis são:

• $\lambda = 1 \textrm{ e } y = 0 \implies x^2 = 1 \iff x = \pm 1;$
• $x = 0 \textrm{ e } \lambda = 2 \implies y^2 = 1 \iff y = \pm 1.$

Os pontos candidatos a extremos são então:

$(0,-1)\qquad , \qquad (0,1) \qquad , \qquad (-1,0)\qquad \textrm{e} \qquad (1,0).$

Como $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: g(x,y)=0\}$ corresponde a uma circunferência, que é um conjunto claramente compacto, e $f$ é contínua, então o teorema de Weierstrass garante a existência de extremos de $f$ em $D$, basta-nos verificar os valores que $f$ toma em cada um dos pontos candidatos:

$f(0,1) = f(0,-1)= 2;$

$f(1,0) = f(-1,0) = 1.$

Concluímos assim que $f$ tem máximo $2$ nos pontos $(0,\pm 1)$ e mínimo $1$ nos pontos $(\pm 1, 0)$.

Resposta: Alternativa 4