Question

Considere as funções f(x) = x² e g(x) = √x. A área da região compreendida entre os gráficos de f e g e entre seus pontos de intersecção é:

1/2
1
2/3
1/3
(2√2)/3

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$y = x {}^{2} \: \: e \: \: y = \sqrt{x}$

Para encontrar a área formada entre as funções, devemos primeiro esboçar essa função, eu sugiro utilizar o Geogebra. Após fazer a plotagem do gráfico, vamos encontrar os pontos de interseçao das funções, pois assim saberemos de onde até onde a área vai. Para encontrar essas interseções, basta igualar as funções:

$y = x {}^{2} \: \: e \: \: y = \sqrt{x} \longrightarrow {x}^{2} = \sqrt{x} \\ x {}^{4} - x = 0 \longrightarrow x.(x {}^{3} - 1) = 0 \\ x_{1} = 0 \: \: e \: \: x_{2} = 1$

Portanto esses são os pontos de interseçao, ou seja, os limites de integração. A integral de área é dada pela seguinte relação:

$A = \int\limits_{a}^{b}f(x)dx$

Como temos duas funções, teremos que fazer a subtração da função de cima, pela função de baixo, ou seja, a relação da área passa a ser:

$A = \int\limits_{a}^{b}f(x) - g(x)dx$

Na plotagem do gráfico, é possível observar que a função de cima é y = √x e a de baixo y = x², então podemos dizer que a relação é:

$A = \int\limits_{0}^{1} \sqrt{x} - x {}^{2} dx$

Integrando a função sem os limites:

$A = \int \sqrt{x} - x {}^{2} dx \longrightarrow A = \int \sqrt{x} \: dx - \int x {}^{2} dx \: \: \\ \\ A = \int x {}^{ \frac{1}{2} } \: dx - \int x {}^{2} \: dx \longrightarrow A = \frac{x {}^{ \frac{1}{2} + 1} }{ \frac{1}{2} + 1 } - \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} \\ \\ \boxed{A = \frac{2x {}^{ \frac{3}{2} } }{3} - \frac{x {}^{3} }{3} + k \bigg |_{0}^{1} \: ,k\in \mathbb{R}}$

O Teorema Fundamental do Cálculo, nos diz que:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a) \longrightarrow \bigg| _{a}^{b}$

Aplicando isso no resultado que tivemos:

$A = \frac{2.1 {}^{ \frac{3}{2} } }{3} - \frac{1 {}^{3} }{3} - 0 \longrightarrow A = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \\ \\ \boxed{A = \frac{1}{3} \: u. a}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

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