Question

Considere as funções f(x) = x² e g(x) = √x. A área da região compreendida entre os gráficos de f e g e entre seus pontos de intersecção é:
1/2
1
2/3
1/3
(2√2)/3

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de áreas.

Devemos determinar a área da região entre as curvas $y=x^2$ e $y=\sqrt{x}$.

Primeiro, lembre-se que a área de uma região $R$, delimitada por duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$ é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

Igualamos as funções, para calcularmos seus pontos de intersecção:

$x^2=\sqrt{x}\\\\\\ x^4=x\\\\\\\ x=0~~\bold{ou}~~x=1$

Assim, o intervalo de integração será $[0,~1]$.

Então, esboçamos os gráficos das funções no plano cartesiano: veja a primeira imagem em anexo.

Neste intervalo, observa-se que $\sqrt{x}>x^2$. Assim, a área da região delimitada por estas curvas será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_{0}^1\sqrt{x}-x^2\,dx$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int_0^1\sqrt{x}\,dx-\int_0^1 x^2\,dx$

Aplique a regra da potência, sabendo que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\dfrac{1}{2}+1}-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~\biggr|_0^1$

Some os valores nos expoentes e denominadores

$\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{3}{2}}-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_0^1$

Calcule a fração de frações

$\dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{2\cdot1^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{1^3}{3}-\left(\dfrac{2\cdot0^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{0^3}{3}\right)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$\dfrac{2\cdot1}{3}-\dfrac{1}{3}-\left(\dfrac{2\cdot0}{3}-\dfrac{0}{3}\right)\\\\\\ \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}-\left(\dfrac{0}{3}-\dfrac{0}{3}\right)\\\\\\ \dfrac{1}{3}~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região delimitada por estas curvas, neste intervalo.