Question

Considere as funções f(x) = x
^2 − 2x–3 e g(x) = −x
^2 + 4. Determine os valores de x ∈ R para que tenhamos:

(a) f(x) > g(x)

(b) f(x)
/g(x)
≥ 0​

Answer 1

Sejam  $f(x)=x^2-2x-3$  e  $g(x)=-x^2+4$ .

a)

    $f(x)>g(x)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^2-2x-3>-x^2+4\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^2+x^2-2x-3-4>0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2x^2-2x-7>0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x<\dfrac{1-\sqrt{15}}{2}\;\;\;\wedge\;\;\;x>\dfrac{1+\sqrt{15}}{2}$

(Esta conclusão foio tirada analizando o sinal do gráfico - Anexo)

Resposta:  $x\in\left]-\infty\;;\;\dfrac{1-\sqrt{15}}{2}\right[\;\;\;\bigcup\;\;\;\left]\dfrac{1+\sqrt{15}}{2}\;;\;+\infty\right[$

    Cálculos Auxiliares    

    $2x^2-2x-7=0$

    $x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\times2\times(-7)}}{2\times2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-8\times(-7)}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+56}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{60}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{2\times2\times3\times5}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{2^2\times15}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm2\sqrt{15}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{15}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1-\sqrt{15}}{2}\;\;\;\vee\;\;\;x=\dfrac{1+\sqrt{15}}{2}$

b)

    $\dfrac{f(x)}{g(x)}\geq0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{x^2-2x-3}{-x^2+4}\geq0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{x^2-2x-3}{-(x^2-4)}\geq0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow-\dfrac{x^2-2x-3}{x^2-4}\geq0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{x^2-2x-3}{(x+2)(x-2)}\leq0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{(x+1)(x-3)}{(x+2)(x-2)}\leq0$

Por análise da tabela de sinal (nos Cálculos Auxiliares) conclui-se que:

Resposta:  $x\in]-2\;;\;-1]\;\cup\;]2\;;\;-3]$

    Cálculos Auxiliares    

    $x^2-2x-3=0$

    $x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\times1\times(-3)}}{2\times1}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4\times(-3)}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm4}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=1\pm2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=1-2\;\;\;\vee\;\;\;x=1+2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=-1\;\;\;\vee\;\;\;x=3$

x     | -∞    | -2 |     | -1 |     | 2 |      | 3 |     +∞

x+1  |    -    |  -  |  -  | 0 |  +  | + |  +  | + |     +

x-3  |    -    |  -  |  -  |  - |   -  | -  |  -  | 0 |     +

x+2 |    -    |ND|  +  | + |  +  | + |  +  | + |     +

x-2  |    -    |  -  |  -  |  - |   -  |ND| +  | + |     +

$\frac{f(x)}{g(x)}$  |    +   |ND|  -  | 0 |  +  |ND| -  | 0 |     +

Desta tabela de sinal concluimos que:

$\dfrac{f(x)}{g(x)}<0\Leftrightarrow x\in]-2\;;\;-1[\;\cup\;]2\;;\;-3[$

$\dfrac{f(x)}{g(x)}>0\Leftrightarrow x\in]-\infty\;;\;-2[\;\cup\;]-1\;;\;2[\;\cup\;]3\;;\;+\infty[$

$\dfrac{f(x)}{g(x)}=0\Leftrightarrow x\in\{-1\;;\;3\}$

$\dfrac{f(x)}{g(x)}\;n\tilde{a}o\;est\acute a\;de{f}inida\;para\;x\in\{-2\;;\;2\}$

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