Question

Considere as funções f(x) = sen x e g(x)= In x e o intervalo de integração
[1,π/2] dados no sistema cartesiano a seguir:
Qual é a alternativa que apresenta o valor da medida da área da região
hachurada?​

Answer 1

A área da região hachurada é

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A = \int_1^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx - \int_1^{\frac{\pi}{2}} \ln x\,dx\\ \\\boxed{A = \cos 1 + \left(\ln 1 - 1\right) -\frac{\pi}{2}\left(\ln \frac{\pi}{2}-1\right)}\end{gathered} }$

Podemos calcular a área entre dois gráficos fazendo a diferença de suas áreas, ou seja, para obter a região hachurada, podemos calcular a integral que está por cima neste intervalo e subtrair a área da função mais abaixo, portanto

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A = \int_1^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,dx - \int_1^{\frac{\pi}{2}} g(x)\,dx\end{gathered} }$

Neste caso queremos calcular as primitivas tanto de f quanto de g, a primitiva de f é uma integral imediata, qual função que quando derivada dá sen(x)? -cos(x) + C.

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\boxed{\int \sin x\,dx = -\cos x + C}\end{gathered}$

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                                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A = - \cos x\bigg|_{1}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} g(x)\,dx\\ \\A = \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} g(x)\,dx + \cos 1\\ \\\end{gathered} }$

Agora temos que integrar g, fazendo integração por partes.

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)\,dx\\ \Downarrow \\\int u\,dv = uv - \int v\,du\\ \\\end{gathered}$

Portanto vamos usar u = ln x e dv = 1dx, o que implica

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \ln x\, dx = x\ln x - \int x\frac{1}{x}\,dx\\ \\\int \ln x\, dx = x\ln x - x + C\\ \\ \boxed{\int \ln x\, dx = x\left(\ln x - 1\right) + C}\\ \\\end{gathered}$

Agora temos a primitiva de g, pelo Teorema Fundamental do Cálculo

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{a}^{b} g(x)\,dx = G(b) - G(a)\end{gathered}$

Em que G denota a primitiva de g.

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \ln x\, dx = \frac{\pi}{2}\left(\ln \frac{\pi}{2} - 1\right) - \left(\ln 1 - 1\right) \\ \\\end{gathered} }$

Portanto a área da região hachurada é

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A = \int_1^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx - \int_1^{\frac{\pi}{2}} \ln x\,dx\\ \\\boxed{A = \cos 1 + \left(\ln 1 - 1\right) - \frac{\pi}{2}\left(\ln \frac{\pi}{2}-1\right)}\end{gathered} }$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

Veja mais sobre em:

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Answer 2

Resposta:

Tambem não é a letra c

Explicação passo a passo:

-cosx-x+xlnx+c   letra c