Question

considere as funcoes f(x)=log2(x) e g(x)=x^2 -2x,definidas para todo x real estritamente positivo.Se a>0 e f[g(2a)]=3, podemos afirmar que:
a)f(a)=0
b)g(a)=3
c)f(a) + g(a)=2
d)g(a)=1
e)f(a)=1

Answer 1

Vou escrever assim : log(b) a → "a" : logaritmando e "b" → base

f(x) = log(2) x 

g(x) = x² -  2*x

o exercício diz que f(g(2*a)) = 3, com a > 0

g(2*a) = (2*a)² - 2*(2*a)

g(2*a) = 4*a² - 4*a

log(2) (4*a² - 4*a) = 3 ⇒ Aplicando a definição de log :

4*a² - 4*a = 2³

4*a² - 4*a = 8

4*a² - 4*a - 8 = 0 
⇒ Por Bháskara, os coeficientes são : 'a' = 4, b = -4 e 'c' = -8 (vou indicá-los com aspas para não confundir)

 Δ = 'b'² - 4*'a'*'c'

Δ = (-4)² - 4*(4)*(-8)

Δ = 16 + 128

Δ = 144

a = (-'b' +- √Δ) / (2*'a')

a = (-(-4) +- √144) / (2*4)

a = (4 +- 12) / 8 ⇒ Daí tiramos que :

Ou a = (4 + 12) / 8 ou a = (4 - 12) / 8, mas como a > 0, então "a = (4 - 12) / 8" é descartado !

a = (4 + 12) / 8

a = 16 / 8

a = 2

Daí :

f(a) = log(2) a ⇒ a = 2

f(a) = log(2) 2 

f(a) = 1 ⇒ Alternativa "e)" !