Question

Considere as funções f(x) = 5.4^-x e g(x)= (0,25)^2x + 4. Para que valores de x essas funções assumem valores iguais?​

Answer 1

Resposta:

Vamos começar igualando:

$f(x) = g(x)$

$5.4^{ - x} = ( \frac{1}{4} )^{2x} + 4$

passando a g(x) para o lado esquerdo, temos:

$5. {2}^{ - 2x} - ( {2}^{ - 2})^{2x} - 4 = 0$

Seja:

${2}^{2x} = k$

e

$({2}^{2} ) ^{2x} = {k}^{2}$

Assim, temos:

$\frac{5}{k} - \frac{1}{ {k}^{2} } - 4 = 0$

$\frac{5k - 1 - 4 {k}^{2} }{ {k}^{2} } =0$

Reagrupando os termos e usando a propriedade comutativa, temos:

$4 {k}^{2} - 5k + 1 = 0$

$k(4k - 1) - (4k - 1) = 0$

$(4k - 1)(k - 1) = 0$

Agora basta resolver:

$4k = 1$

$k _{1} = \frac{1}{4}$

Agora a segunda raiz:

$k _{2} = 1$

Já que:

$k = {2}^{2x}$

temos:

${2}^{2x} = 1$

$x_{1} = 0$

Agora a segunda raiz:

${2}^{2x} = \frac{1}{4}$

$x _{2} = - 1$

Assim, para que f(x)=g(x), os valores devem ser 0 ou -1.

Answer 2

Resposta:

Opa, me desculpe pelo incômodo, mas tive que criar uma conta secundária para consertar essa resposta:

$5. {4}^{ - x} = (0.25) ^{2x} + 4$

$5( \frac{1}{4} )^{x} = ( \frac{1}{4}) ^{2x} + 4$

Seja:

$( \frac{1}{4} )^{x} = k$

Assim temos a equação:

${k}^{2} - 5k + 4 = 0$

$(k - 1) = 0$

e

$(k - 4) = 0$

temos que as raízes são 4 e 1, assim:

$( \frac{1}{4} ) ^{x} = 4$

$x _{1} = - 1$

e

$( \frac{1}{4} )^{x} = 1$

$x _{2} = 0$

Assim, para que elas assumam valores iguais, o x tem de ser 0 ou -1.

(E sim, a forma como se chega aos resultados é o que importa)