Question

considere as funcoes f(x)=2x+m e g(x)= 3x-9. Determine m sabendo que f(g(x))=g(f(x))

Answer 1

Vamos lá

Veja, Math, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o valor de "m" sabendo-se que as funções f(x) = 2x + m e g(x) = 3x - 9, sabendo-se que:

f[g(x)[ = g[f(x)]

ii) Então vamos logo calcular o que será o f[g)x)] e o g[f(x)]

ii.1) Encontrando f[g(x)]. Para isso, iremos em f(x) = 2x + m e substituiremos "x" por g(x), que é g(x) = 3x-9. Assim, fazendo isso, teremos:

f[g(x)] = 2*(3x-9) + m ----- desenvolvendo, temos:
f[g(x)] = 6x-18 + m          . (I)

ii.2) Encontrando g[f(x)]. Para isso, iremos em g(x) = 3x - 9 e substituiremos "x" por f(x), que é: f(x) = 2x+m . Assim, teremos:

g[f(x)] = 3*(2x+m) - 9 ---- desenvolvendo, teremos:
g[f(x)] = 6x+3m - 9        . (II)

iii) Agora, como sabemos que f[g(x)] = g[f(x)], então vamos igualar as expressões (I) e (II). Fazendo isso, teremos:

6x-18 + m = 6x+3m - 9 ----- passando "6x+3" do 2º para o 1º membro, e passando "-18" para o 2º membro, iremos ficar assim:

6x + m - 6x - 3m = - 9 + 18 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
- 2m = 9 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
2m = - 9
m = - 9/2   <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor de "m" para que se tenha f[g(x)] = g[f(x)].

Note que se você quiser dar a resposta em forma decimal, então basta dividir "-9/2" que dará igual a "-4,5". Assim:

m = - 4,5 <--- A resposta também poderia ser dada desta forma.

Você escolhe a resposta que deseja apresentar, dependendo das opções que a questão oferece.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.