Question

considere as funções f e g, definidas respectivamente por f(x)= – x2 + 10x – 9 e g(x) = 7, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas. o gráfico da função g intercea o gráfico da função f em dois pontos. o gráfico da função f intercea o eixo das abscissas em dois pontos. a área do quadrilátero convexo com vértices nesses pontos é

Answer 1

Considerando o gráfico em anexo para visualizarmos o trapézio em roxo, as linhas do gráfico de f(x) está em vermelho e g(x) em azul.

A função g(x) = 7 define a altura do trapézio.

Devemos saber, portanto, os pontos em que f(x) cruza g(x) e ainda os pontos em que f(x) cruza com o eixo das abscissas.

Portanto, fazendo f(x) = g(x), temos:

-x² + 10x -9 = 7

-x² +10x -16 =0

Encontrando Δ, temos:

Δ = 10²-4.(-1).(-16)

Δ=100-64

Δ=36

Logo, x será:

$x =\frac{ -10 \pm \sqrt{\Delta}}{-2}$

$x =\frac{ -10 \pm \sqrt{36}}{-2}$

$x =\frac{ -10 \pm 6}{-2}$

Logo x' será:

$x' =\frac{ -10 + 6}{-2}$

$x' =\frac{ -4}{-2}$

$x' = 2$

e x'':

$x'' =\frac{ -10 - 6}{-2}$

$x'' =\frac{ -16}{-2}$

$x'' = 8$

Os pontos x'=2 e x''=8 são os que f(x) e g(x) se cruzam. Portanto, (2,7) e (8,7) são vértices do trapézio.

Para descobrirmos os outros vértices do trapézio devemos encontrar os zeros da função f(x), que são os pontos em que a mesma cruza o eixo das abscissas.

Logo, temos que fazer f(x) =0 e encontraremos x''' e x''''.

Portanto,

-x² +10x -9 =0

Encontrando Δ, temos:

Δ = 10²-4.(-1).(-9)

Δ=100-36

Δ=64

Logo, x será:

$x =\frac{ -10 \pm \sqrt{\Delta}}{-2}$

$x =\frac{ -10 \pm \sqrt{64}}{-2}$

$x =\frac{ -10 \pm 8}{-2}$

Logo x''' será:

$x''' =\frac{ -10 + 8}{-2}$

$x''' =\frac{ -2}{-2}$

$x''' = 1$

e x'''':

$x'''' =\frac{ -10 -8}{-2}$

$x'''' =\frac{ -18}{-2}$

$x'''' = 9$

Portanto, a base maior do trapézio sobre o eixo X tem pontos em (1,0) e (9,0).

Logo, o trapézio tem seus vértices em (1,0),(9,0),(2,7) e (8,7).

Considerando que a altura = g(x) = 7 e que os pontos tem o mesmo valor no eixo das ordenadas as bases serão:

Base maior = 9-1 = 8;

Base menor = 8-2=6

A área do trapézio é dada por:

$A =\frac{(Base_{maior} + Base_{menor}).altura}{2}$

$A =\frac{(8+6).7}{2}$

$A =\frac{14.7}{2}$

$A =7.7$

$A =49$

Logo, a área do trapézio será 49.

Espero ter ajudado. Bons estudos.

Answer 2

Resposta: 49

Explicação:Primeiro descobre-se as raízes de F(x), para isso iguala a equação a 0

0 = 10x - x2 - 9

teremos então: X1=1 e X2=9

Em seguida acha-se os pontos em que a função g intercepta o gráfico da função F, quando se diz que uma função intercepta a outra tem-se que igualar para descobrir tais pontos de interseção:

Logo teremos:

f(x) = g(x)

10x - x2 - 9 = 7

10x - x2 - 9 -7=0

10x - x2 - 16 = 0

Resolvendo a Equação tem-se as raízes

X1= 8 e X2=2

Algumas pessoas podem travar agora ao resolver o gráfico

F(x) é uma parábola com concavidade para baixo pois a menor que 0 e ela corta o eixo X em 1 e 9

G(x) é uma reta, a qual não passa pelo eixo X, na verdade é uma reta paralela ao eixo X, cortando o eixo Y no ponto ( 0,7).

O exercício fala que g intercepta f nos pontos que encontramos e que pelo gráfico, seria (2,7) e (8,7)

obs: lembrando 2 e 8 descobrimos igualando as equações. O 7 tem 2 formas, observando o gráfico sabendo g(x) é uma reta paralela, mas se você não conseguiu visualizar, basta em ir na equação f(x) = 10x - x2 - 9 e substituir o X por 2 e por 8 e terá f(x)= 7.

Retornando...

Ao analisar o gráfico teremos assim 4 pontos (2,7), ( 8,7), (1,0), (9,0), formando assim um trapézio:

com a base maior sendo a distancia do vértice A (ponto 1,0) ate o vértice B ( ponto 9,0)

A base menor a distancia do vértice D ( ponto 2,7) ate o vértice C ( ponto 8,7)

ao interligar o ponto C ao B e D ao A, visualizaremos o trapézio retângulo, que é o quadrilátero convexo

Esta faltando a altura, certo?

se observar bem, como g(x) é uma reta paralela ao eixo X, a distancia do eixo x ate a reta g(x) é justamente a distancia vertical da base maior ate a base menor, que seria 7

Dessa forma, na formula: S= ( B+b).h/2

B= 9-1

b= 8-2

h=7

S= ( 8+6) 7 / 2

S= 7.7

S= 49

Um pouco longa a minha resolução contudo bem didática. Espero ter ajudado