Question

Considere as Funções:

*As imagens abaixo contém as Questões e as Alternativas.

Answer 1

Resposta:

Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.

Explicação passo a passo:

Aplicando as técnicas de integração adequadas temos:

I. Simplificamos a função e em seguida aplicamos a integral imediata da função $f(x) = \ln x$.

$\int {\ln x\sqrt[3]{x}} \, dx=\int {\ln x^{\frac{4}{3}}} \, dx = \dfrac{4}{3}\cdot \int {\ln x} \, dx =\dfrac{4}{3}\cdot (x\ln x-x)+C$

Falso.

II. Neste caso podemos resolver a integral utilizando a integração por partes.

$\int u \ dv=u\cdot v-\int v \ du$

Fazendo

$u = x \Rightarrow du=dx\\\\dv=\cos(\pi x) dx \Rightarrow v=\dfrac{sen \pi x}{\pi}$

$\int\limits^{1/2}_0 {x\cdot \cos (\pi x)} \, dx=\dfrac{x\cdot sen \pi x}{\pi}-\int \dfrac{sen \pi x}{\pi} \ dx$

$=\dfrac{x\cdot sen \pi x}{\pi}+\dfrac{\cos \pi x}{\pi ^2}=\dfrac{\pi \cdot x \cdot sen\pi x+cos \pi x}{\pi^2}|_0^{1/2}=\dfrac{\pi-2}{2\pi^2}$

Verdadeiro.

III. $\int \cos x\cdot \ln(sen \ x) \ dx$

Aplicando a integração por substituição simples temos:

Fazendo $u=sen \ x\Rightarrow du=\cos x \ dx$

$\int \cos x\cdot \ln(sen \ x) \ dx=\int \ln u \ du=u\cdot (\ln u -1)+C=sen \ x\cdot (\ln (sen \ x) -1)+C$

Verdadeiro.