Question

Considere as expressões M = cos a + sen a e N = sen a + sen b. Sendo a - b = 60º, determine o valor de M² + N².

Answer 1

obs: presumir nunca é bom na matemática, mas essa questão caiu no meu teste e não sabia nem como começar, por tanto não posso te dar certeza sobre a veracidade dessa resolução, mas espero te dar alguma ajuda

1. presumi dois números que dessem 60 ao subtrair, dessa forma utilizei a=75 e b=15

2. usando a calculadora calculei os senos e cossenos:

• sen(75)≈0,97

• cos(75)≈0,26

• sen(15)≈0,26

3. agora M e N

• M= cosa+sena → M= cos(75)+sen(75) → M= 0,26+0,97 → M=1,23

• N= sen a + sen b → N= sen(75)+sen(15) → N= 0,97+0,26 → N=1,23

4. M² + N²

• 1,23² = 1,5129
• 1,5129+1,5129 = 3,0258
• M² + N² ≈ 3

espero que isso te ajude pelo menos um pouco :/

Answer 2

Com o estudo da trigonometria, temos como resposta o  valor de M² + N² =

$=\displaystyle1+\cos \left(a\right)\sin \left(a\right)\left(2-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{9\sin ^2\left(a\right)+3\cos ^2\left(a\right)}{4}$

Explicação passo a passo:

Fórmulas de Trigonometria

As identidades de soma e diferença incluem as fórmulas de trigonometria de sen(x + y), cos(x - y), cot(x + y), etc.

• sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)
• cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)
• tan(x + y) = (tan x + tan y)/(1 - tan x • tan y)
• sen(x – y) = sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y)
• cos(x – y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)
• tan(x − y) = (tan x - tan y)/(1 + tan x • tan y)

Com isso podemos resolver o exercício:

$M^2\:=\:\left(cos\left(a\right)\:+\:sen\left(a\right)\right)^2=cos^2\left(a\right)\:+\:2cos\left(a\right)sen\left(a\right)\:+\:sen^2\left(a\right)=1\\\\\:+\:2cos\left(a\right)sen\left(a\right)\:$

$N^2=\left(sen\left(a\right)\:+\:sen\left(b\right)\right)^2=sen^2\left(a\right)\:+\:2sen\left(a\right)sen\left(b\right)\:+\:sen^2\left(b\right)=sen^2\left(a\right)\:+\\\\\:2sen\left(a\right)sen\left(a\:-\:60^{\circ }\right)\:+\:sen^2\left(a\:-\:60^{\circ }\right)\:\:$

Desenvolvendo a 2ª expressão, teremos:

$\sin ^2\left(a\right)+2\sin \left(a\right)\left(\frac{1}{2}\sin \left(a\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \left(a\right)\right)+\left(\frac{1}{2}\sin \left(a\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \left(a\right)\right)^2=$

$=\dfrac{9}{4}\sin ^2\left(a\right)-\sqrt{3}\sin \left(a\right)\cos \left(a\right)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin \left(a\right)\cos \left(a\right)+\dfrac{3}{4}\cos ^2\left(a\right)$

Daí, teremos:

$\displaystyle1+2cos\left(a\right)sen\left(a\right)+\frac{9}{4}\sin ^2\left(a\right)-\sqrt{3}\sin \left(a\right)\cos \left(a\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \left(a\right)\cos \left(a\right)+\frac{3}{4}\cos ^2\left(a\right)\:$

$=\displaystyle1+\cos \left(a\right)\sin \left(a\right)\left(2-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{9}{4}\sin ^2\left(a\right)+\frac{3}{4}\cos ^2\left(a\right)$

$=\displaystyle1+\cos \left(a\right)\sin \left(a\right)\left(2-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{9\sin ^2\left(a\right)}{4}+\frac{3\cos ^2\left(a\right)}{4}$

$=\displaystyle1+\cos \left(a\right)\sin \left(a\right)\left(2-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{9\sin ^2\left(a\right)+3\cos ^2\left(a\right)}{4}$

Saiba mais sobre trigonometria:https://brainly.com.br/tarefa/20622711

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