Question

Considere as expressões
A= sen^2 x + tg^2x + cos^2x


B= cscX . secX . senX

A razão = a/b


a) Sec X b) sen X c) Csc X

d)tg^2X e) Nenhum

PASSO A PASSO POR FAVOR

Answer 1

A alternativa que corresponde à razão A/B das expressões trigonométricas A e B é a alternativa a) sec x.

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Dado as expressões trigonométricas, A e B a seguir

$\LARGE\begin{array}{l}\sf A=sen^2\,x+tg^2\,x+cos^2\,x\\\\\sf B=csc\,x\cdot sec\,x\cdot sen\,x\end{array}$

, desejamos encontrar o valor da razão A/B. Para isso, vamos desenvolver as expressões usando identidades trigonométricas. Acompanhe:

$\\\large\begin{array}{l}\sf\dfrac{~A~}{B}=\dfrac{sen^2\,x+tg^2\,x+cos^2\,x}{csc\,x\cdot sec\,x\cdot sen\,x}\end{array}$

Começaremos usando a identidade, que a chamamos também de relação fundamental da trigonometria, sen²x + cos²x = 1:

$\\\large\begin{array}{l}\sf\dfrac{~A~}{B}=\dfrac{\overbrace{\sf sen^2\,x+cos^2\,x}^{1}\,+~tg^2\,x}{csc\,x\cdot sec\,x\cdot sen\,x}\\\\\sf \dfrac{~A~}{B}=\dfrac{1+tg^2\,x}{csc\,x\cdot sec\,x\cdot sen\,x}\end{array}$

Com isso podemos usar a seguinte identidade, 1 + tg²x = sec²x:

$\\\large\begin{array}{l}\sf\dfrac{~A~}{B}=\dfrac{\overbrace{\sf1+tg^2\,x}^{sec^2\,x}}{csc\,x\cdot sec\,x\cdot sen\,x}\\\\\sf\dfrac{~A~}{B}=\dfrac{sec^2\,x}{csc\,x\cdot sec\,x\cdot sen\,x}\\\\\sf\dfrac{~A~}{B}=\dfrac{sec\,x\cdot \cancel{sec\,x}}{csc\,x\cdot \cancel{sec\,x}\cdot sen\,x}\\\\\sf\dfrac{~A~}{B}=\dfrac{sec\,x}{csc\,x\cdot sen\,x}\end{array}$

Por fim, vamos fazer o seguinte, sabemos que a cossecante é o inverso do seno, então:

$\\\large\begin{array}{l}\sf\dfrac{~A~}{B}=\dfrac{sec\,x}{\underbrace{\sf csc\,x}_{sen^{-1}\,x}\cdot~sen\,x}\\\\\sf\dfrac{~A~}{B}=\dfrac{sec\,x}{\dfrac{1}{\cancel{sen\,x}}\cdot\cancel{sen\,x}}\\\\\sf\dfrac{~A~}{B}=\dfrac{sec\,x}{1}\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf \dfrac{~A~}{B}=sec\,x}}\end{array}$

Dessarte, a alternativa a) sec x responde à questão.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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