Question

Considere as equações 3x−y+z=−2 e 2x−5y+z=3. Como é possível obter o ângulo entre esses planos?


Quem puder me ajudar eu ficaria muito grato!

Answer 1

Seja $\alpha: 3x-y+z=-2$ e $\beta: 2x-5y+z=3$.

Um vetor normal a $\alpha$ é:

$\vec{\alpha} = (3,-1,1).$

Um vetor normal a $\beta$ é:

$\vec{\beta} = (2,-5,1).$

O ângulo entre os planos é igual ao ângulo entre os vetores normais. O modo mais simples de o calcular é usando o produto interno entre os vetores:

$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = |\vec{\alpha}| |\vec{\beta}|\cos\theta,$

sendo $\theta$ o ângulo pretendido.

O produto interno é:

$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = (3,-1,1) \cdot (2,-5,1) = 3 \times 2 + (-1) \times (-5) + 1 \times 1 = 6 + 5 + 1 = 12.$

O módulo dos vetores é:

$|\vec{\alpha}| = \sqrt{3^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}.$

$|\vec{\beta}| = \sqrt{2^2+(-5)^2+1^2} = \sqrt{4 + 25 + 1} = \sqrt{30}.$

Resolvendo para o cosseno do ângulo, vem:

$\cos\theta = \dfrac{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}}{|\vec{\alpha}| |\vec{\beta}|} = \dfrac{12}{\sqrt{11}\sqrt{30}} = \dfrac{12}{\sqrt{330}}.$

Usando o arco-cosseno, obtemos por fim:

$\theta = \arccos \left(\dfrac{12}{\sqrt{330}}\right) \simeq 48.66^\circ.$