Question

Considere as bases

B = {(2,2), (4, -1)} e B' = {(1,3), (-1, -1)}

A matriz de mudança de base é dada por:

Ainda considerando as bases do problema anterior, sejam as coordenadas do vetor v = (3,8) na base B' dadas por

Answer 1

A matriz mudança de base $[I]_{\beta}^{\beta'}$ é descrita pela matriz da alternativa C:

$\begin{pmatrix} \frac{13}{10} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{2}{5} & 0 \end{pmatrix}$

E as coordenadas do vetor v na base $\beta$ são os descritos na alternativa D:

$\begin{pmatrix} \frac{7}{2} \\ -1 \end{pmatrix}$

Matriz mudança de base

A matriz $[I]_{\beta}^{\beta'}$ é a matriz mudança de base da base $\beta$ para a base $\beta'$. Para calcular os coeficientes dessa matriz precisamos escrever os vetores da base $\beta'$ na base $\beta$. Ou seja, precisamos determinar os valores de a, b, c e d, de forma que:

$(1,3) = a(2, 2) + b(4, -1)$

$(-1, -1) = c(2, 2) + d(4, -1)$

Para isso vamos resolver o sistema de equações lineares abaixo:

$\begin{bmatrix} 1=2a+4b \\ 3=2a-b \\ -1=2c+4d \\ -1=2c-d \end{matrix}$

$\begin{bmatrix} a= \frac{1 - 4b}{2} \\ 3=2\cdot \frac{1-4b}{2}-b\\ -1=2c+4d\\ -1=2c-d\end{matrix}$

$\begin{bmatrix} a= \frac{1 - 4b}{2} \\ 3=1-5b \\ -1=2c+4d \\ -1=2c-d \end{matrix}$

$\begin{bmatrix} a= \frac{1 - 4b}{2} \\ b = - \frac{2}{5} \\ -1=2c+4d \\ -1=2c-d \end{matrix}$

$\begin{bmatrix} a = \frac{13}{10} \\ b = - \frac{2}{5} \\ c = - \frac{1}{2} \\ d = 0 \end{matrix}$

Escrevendo as coordenadas correspondentes ao vetor (1, 3) na coluna 1 e as coordenadas do vetor (-1, -1) na coluna 2, obtemos a matriz de mudança de base:

$[I]_{\beta}^{\beta'} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{13}{10} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{2}{5} & 0 \end{pmatrix}$

Para encontrar as coordenadas do vetor v = (3, 8) na base $\beta$ vamos utilizar a matriz mudança de base $[I]_{\beta}^{\beta'}$, calculada anteriormente e as coordenadas do vetor v na base $\beta'$, dadas na questão:

$[v]_{\beta} = [I]_{\beta}^{\beta'} * [v]_{\beta'} = \begin{pmatrix} \frac{13}{10} & -\frac{1}{2} \\ \:\:-\frac{2}{5} & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{5}{2} \\ \:-\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{2} \\ -1 \end{pmatrix}$

Para mais informações sobre base de um espaço vetorial, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/53938187

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