Question

Considere as afirmações sobre polígonos
convexos:
1 - Existe apenas um polígono cujo número de
diagonais coincide com o número de lados.
II - Não existe polígono cujo número de diagonais
seja o quádruplo do número de lados.
nl - Se a razão entre o número de diagonais e o de
lados de um polígono é um número natural, então
o número de lados do polígono é impar.
a) todas as afirmações são verdadeiras
b) apenas le lll são verdadeiras
c) apenas I é verdadeira
d) apenas III é verdadeira
e) apenas Il e Ill são verdadeiras​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

I) Verdadeira

O número de diagonais de um polígono de n lados é dado por:

$\sf d=\dfrac{n\cdot(n-3)}{2}$

$\sf n=\dfrac{n\cdot(n-3)}{2}$

$\sf 2n=n\cdot(n-3)$

$\sf 2n=n^2-3n$

$\sf n^2-3n-2n=0$

$\sf n^2-5n=0$

$\sf n\cdot(n-5)=0$

• $\sf n'=0$ (não serve)

• $\sf n-5=0$

$\sf n"=5$

Esse polígono é o pentágono

II) Falsa

$\sf d=\dfrac{n\cdot(n-3)}{2}$

$\sf 4n=\dfrac{n\cdot(n-3)}{2}$

$\sf 2\cdot4n=n\cdot(n-3)$

$\sf 8n=n^2-3n$

$\sf n^2-3n-8n=0$

$\sf n^2-11n=0$

$\sf n\cdot(n-11)=0$

• $\sf n'=0$ (não serve)

• $\sf n-11=0$

$\sf n"=11$

Esse polígono é o undecágono

III) Verdadeira

$\sf \dfrac{d}{n}=\dfrac{\frac{n\cdot(n-3)}{2}}{n}$

$\sf \dfrac{d}{n}=\dfrac{n\cdot(n-3)}{2}\cdot\dfrac{1}{n}$

$\sf \dfrac{d}{n}=\dfrac{n\cdot(n-3)}{2n}$

$\sf \dfrac{d}{n}=\dfrac{n-3}{2}$

Para que essa razão seja um número natural é necessário que $\sf (n-3)$ seja par. Isso só ocorre se n for ímpar

Letra B

Answer 2

Resposta:

letra b

fonte :

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