Question

Considere as afirmações

imagem anexada


gabarito é apenas II é incorreta.

gostaria dos cálculos

Answer 1

Olá!

 Podemos verificar as afirmações integrando as teses, veja:

$\\ \mathsf{\bullet \quad Afirmativa \quad I:} \\\\ \mathsf{f(x) = 2x - \frac{1}{x}} \\\\\\ \mathsf{\int f(x) \ dx = \int \left (2x - \frac{1}{x} \right ) \ dx} \\\\\\ \mathsf{\int f(x) \ dx = x^2 - \ln|x| + c_1}$

 VERDADEIRA

$\\ \mathsf{\bullet \quad Afirmativa \quad II:} \\\\ \mathsf{g(x) = x \cdot \sin x} \\\\ \mathsf{\int g(x) \ dx = \int x \cdot \sin x \ dx} \\\\ \mathsf{Integrando \ por \ partes,} \\\\ \begin{cases} \mathsf{u = x \Leftrightarrow du = dx} \\ \mathsf{dv = \sin x \ dx \Leftrightarrow v = - \cos x} \end{cases} \\\\ \mathsf{\int u \ dv = u \cdot v - \int v \ du} \\\\ \mathsf{\int x \cdot \sin x \ dx = x \cdot (- \cos x) - \int - \cos x \ dx} \\\\ \mathsf{\int x \cdot \sin x \ dx = - x \cdot \cos x + \int \cos x \ dx} \\\\ \mathsf{\int x \cdot \sin x \ dx = - x \cdot \cos x + \sin x + c_2}$

FALSA

$\\ \mathsf{\bullet \quad Afirmativa \quad III:} \\\\ \mathsf{h(x) = e^x + e^{- x}} \\\\\\ \mathsf{\int h(x) \ dx = \int e^x + e^{- x} \ dx} \\\\\\ \mathsf{\int h(x) \ dx = e^x + \frac{e^{- x}}{- 1} + c_3} \\\\\\ \mathsf{\int h(x) \ dx = e^x - e^{- x} + c_3}$

 VERDADEIRA.