Question

Considere a transformação T; R^2⇒R^2 tal que T (( x,y)) = ( 2x - y; -x - 2y )


e os vetores U= ( a,b ) e V = ( c, d ) pertencentes ao R^2 . Podemos afirmar que:


Escolha uma:

A) T; R^2⇒R^2 não é uma transformação linear, pois a imagem do vetor nulo não é o vetor nulo.

B) T; R^2⇒R^2 não é uma transformação linear porque T( u+v) ≠ T(u) + T(v)

C) T; R^2⇒R^2 é uma transformação linear porque T(u) = (2a + 2c - b -d ; - a - c + 2b + 2d) e T(a.u) = a.T(u)

D) T; R^2⇒R^2 é uma transformação linear porque T (u + v) = (2a + 2c - b -d ; - a - c + 2b + 2d) = ( 2a - b ; - a + 2) e, além disso, T(a.u) = a.T(u)

Answer 1

Olá!

Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Diz-se que uma função

$T: V \rightarrow W$ é uma transformação linear se, para quaisquer $u{,} v \in V$ e $\alpha \in K$, valerem as relações:

• $T(u+v) = T(u) + T(v)$;
• $T(\alpha v)= \alpha T(v).$

Dessa forma, seja a função $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$  tal que   $T((x, y))=(2x-y, - x-2y)}.$

Verifiquemos se essa função é uma transformação linear:

Sejam  $u=(a, b), v=(c, d) \in \mathbb{R}^{2}$ e $\alpha \in \mathbb{R}$, temos:

T(u+v)= (2(a+c) - (b+d), -(a+c) -2(b+d))

T(u+v)  = (2a+2c -b-d, -a-c-2b -2d)

T(u+v) = (2a-b +2c -d, -a-2b -c-2d)

T(u+v)= (2a-b,  -a-2b) + (2c-d, -c-2d)

T(u+v) = T(u) +T(v)

e

T( αu) = T(2(αa) - (αb), -(αa) - 2(αb))

T(αu) = (α(2a - b), α(-a-2b)

T(αu)  = α(2a-b, -a-2b)

T(α u) = α · T(u)

Logo, a função T é uma transformação linear.

Em toda transformação linear a imagem do vetor nulo é o vetor nulo. Como provamos que T é uma transformação linear, a alternativa A) é falsa, bem como o são as alternativas B) e C).

Resposta: Alternativa D).