Question

Considere a transformação linear T:R3→R3 dada por T(x,y,z)=(z,x−y,−z).
Assinale a alternativa INCORRETA.

a.
dim(Im(T))=2

b.
ImT={(1,0,−1),(0,1,0)}

c.
T é sobrejetora

d.
KerT={(1,1,0)}

e.
dim(Ker(T))=1

Answer 1

Resposta: A alternativa c é a INCORRETA.

Explicação passo a passo:

Dada a transformação linear

     $\begin{array}{lccl}T:&\mathbb{R}^3&\to&\mathbb{R}^3\\\\ &(x,\,y,\,z)&\mapsto&T(x, \, y,\,z)=(z,\,x-y,\,-z)\end{array}$

encontremos o conjunto imagem de T:

     $T(x,\,y,\,z)=(z,\,x-y,\,-z)\\\\ \Longleftrightarrow\quad T(x,\,y,\,z)=(0,\,x,\,0)+(0,\,-y,\,0)+(z,\,0,\,-z)\\\\ \Longleftrightarrow\quad T(x,\,y,\,z)=x\cdot (0,\,1,\,0)-y\cdot (0,\,1,\,0)+z\cdot (1,\,0,\,-1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad T(x,\,y,\,z)=(x-y)\cdot (0,\,1,\,0)+z\cdot (1,\,0,\,-1)\qquad\mathrm{(i)}$

Observe que dado um número real $w$ qualquer, a equação

     $x-y=w$

sempre tem solução para as variáveis $x$ e $y,$ a saber

     $(x,\,y)=(w+\lambda,\,\lambda),\qquad\mathrm{com~}\lambda\in\mathbb{R}.$

Logo, podemos substituir em (i), e obtemos

     $\Longleftrightarrow\quad T(x,\,y,\,z)=w\cdot (0,\,1,\,0)+z\cdot (1,\,0,\,-1)$

com $w,\,z\in\mathbb{R}.$

Portanto a imagem de T é o subespaço gerado pelos vetores $(0,\,1,\,0)$ e $(1,\,0,\,-1),$ que são dois vetores linearmente independentes (L.I.):

     $\Longrightarrow\quad \mathrm{Im}(T)=[(0,\,1,\,0),\,(1,\,0,\,-1)]\\\\ \Longrightarrow\quad \mathrm{dim}\big(\mathrm{Im}(T)\big)=2<\mathrm{dim}(\mathbb{R}^3)$

Com isso, concluímos que

     $\Longrightarrow\quad \mathrm{Im}(T)\ne \mathbb{R}^3$

e consequentemente T não é sobrejetora.

A alternativa c é a INCORRETA.

Bons estudos! :-)