Question

Considere a transformação linear T : R2 −→ R2 definida por T (x, y) = (2x − y, x + 2y).
Pede-se:
a) O núcleo e a imagem de T.
b) T é um isomorfismo ( transformação linear bijetora) ? Em caso afirmativo, calcule T−1.

Answer 1

a) O núcleo da transformação linear é {0} e a imagem é $\mathbb{R}^2$.

b) Pelo teorema do núcleo e da imagem podemos afirmar que T é um isomorfismo e a inversa de T é $T^{-1} (x, y) = (\dfrac{2x + y}{5}, \dfrac{-x + 2y}{5})$.

O teorema do núcleo e da imagem

O núcleo é o conjunto de todos os vetores cuja imagem é o vetor nulo. Portanto, para a transformação linear dada na questão, temos que:

$ker(T) = \{ 0 \}$

De fato, o sistema de equações lineares associado é:

2x - y = 0

x + 2y = 0

E a única solução desse sistema é x = y = 0.

Pelo teorema do núcleo e da imagem, podemos escrever:

$dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = 2$

Como a dimensão do núcleo é 0, temos que, a dimensão da imagem é 2 e, portanto, a imagem dessa transformação é igual a $\mathbb{R}^2$

Observando o núcleo e a imagem obtidos, podemos afirmar que a transformação é sobrejetora e injetora, logo, é um isomorfismo.

Como:

2x - y = 1

x + 2y = 0

x = 2/5

y = -1/5

E:

2x - y = 0

x + 2y = 1

x = 1/5

y = 2/5

A transformação inversa de T é:

$T^{-1} (x, y) = (\dfrac{2x + y}{5}, \dfrac{-x + 2y}{5})$

Para mais informações sobre transformação linear, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/52500661

#SPJ1