Question

considere a transformação lienar T: R^2 》 R^2 T(x,y) = (x-y, 5y-3x)
a)calcule T(a+b, a-b)
b) expressão geral T^-1(x,y)
c) T^-1(37,42)​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Como se trata de uma transformação linear, é válido saber que T(x+y)=T(x)+T(y), bem como T(αx)=αT(x). Portanto, como (a+b,a-b)=(a, a) + (b, -b), temos que:

a) T(a+b,a-b) = T(a, a) + T(b,-b) = (a - a, 5a - 3a) + (b-(-b), 5(-b)-3(b) = (0, 2a) + (2b, -8b) = (2b, 2a-8b).

b)  Temos que T(x, y)=x(1, -3) + y(-1, 5), assim a matriz que define a transformação linear é $A=\left[\begin{array}{cc}1&-1\\-3&5\end{array}\right]$, ou seja, $T(x,y) =A=\left[\begin{array}{cc}1&-1\\-3&5\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right]$. para encontrarmos a inversa basta encontrar a matriz inversa de A, que é a matriz $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&\end{array}\right]$. Portanto, $T^{-1}(x,y) =A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}x\\ y\end{array}\right] = \left(\frac{5x+y}{2},\frac{3x+y}{2}\right)$.

c) Sendo $T(x,y)=\left(\frac{5x+y}{2},\frac{3x+y}{2}\right)$, então $T^{-1}(37,42)=\left(\frac{5\codt37+42}{2},\frac{3\cdot37+42}{2}\right)=\left(\frac{227}{2},\frac{153}{2}\right).$