Question

Considere a tabela a seguir, a qual relaciona o calor específico da água e a temperatura e, a partir do exposto acima, utilize a fórmula de Lagrange para determinar o polinômio interpolador de maior grau possível que modela o calor específico em função da temperatura. Em seguida, calcule o calor específico da água a 27,5 graus celsius.


Temperatura (graus celsius) 20 25 30 35
Calor específico 0,99907 0,99852 0,99826 0,99818

Answer 1

O polinômio interpolador que modela o calor específico em função da temperatura é

$P(x) = -0,0000001467x^3 + 0,0000168x^2-0,00064233x+1,00637$

e o calor específico da água a 27,5ºC é 0,99836

A fórmula de Lagrange para determinar o polinômio interpolador

A fórmula de Lagrange é:

$P(x) = f(x_0)L_{n,0}(x) + ... + f(x_n)L_{n.n}(x)$

No nosso problema, n vale 3, pois é a quantidade de pontos para a interpolação, menos 1. Dessa forma, simplificamos a fórmula para:

$P(x) = f(x_0)L_{0}(x) + ... + f(x_3)L_{3}(x)$,

onde

$L_k(x) = \frac{(x-x_0)...(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x-x_n)}{(x_k-x_0)...(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})...(x_k-x_n)}$

Resolvendo, temos:

$L_0(x) = \frac{(x-25)(x-30)(x-35)}{(20-25)(20-30)(20-35)} = \frac{(x-25)(x-30)(x-35)}{-750}\\L_1(x) = \frac{(x-20)(x-30)(x-35)}{(25-20)(25-30)(25-35)} = \frac{(x-20)(x-30)(x-35)}{250}\\L_2(x) = \frac{(x-20)(x-25)(x-35)}{(30-20)(30-25)(30-35)} = \frac{(x-20)(x-25)(x-35)}{-250}\\L_3(x) = \frac{(x-20)(x-25)(x-30)}{(35-20)(35-25)(35-30)} = \frac{(x-20)(x-25)(x-30)}{750}$

$P(x) = 0,99907\frac{(x-25)(x-30)(x-35)}{-750} + 0,99852 \frac{(x-20)(x-30)(x-35)}{250} + 0,99826 \frac{(x-20)(x-25)(x-35)}{-250} + 0,99818 \frac{(x-20)(x-25)(x-30)}{750}$

$P(x) = 0,99907\frac{(x-25)(x-30)(x-35)}{-750} + 0,99852 \frac{(x-20)(x-30)(x-35)}{250} + 0,99826 \frac{(x-20)(x-25)(x-35)}{-250} + 0,99818 \frac{(x-20)(x-25)(x-30)}{750}$

Aqui é preciso fazer duas coisas:

1. Tirar o mmc entre 750 e 250 para colocarmos todas as frações sob o mesmo denominador. O mmc é 750 mesmo.
2. Fazer a distributiva nos polinômios entre parênteses. Para tal temos que fazer cada termo multiplicado por todos os outros. Faremos um para exempificar e os outros já daremos o resultado final:

(x-25)(x-30)(x-35) = (x² - 25x - 30x - 750)(x - 35) =

= (x² - 55x + 750)(x - 35) =

x³ - 35x² - 55x² + 1925x + 750x - 26.250 =

x³ - 90x² + 2.675x - 26.250

Agora basta multiplicar por -0,99907 e temos a primeira parte da expressão. Fazemos o mesmo nos outros termos e temos:

$P(x)=\frac{-0,99907x^3+89,9163x^2-2672,51225x+26225,5875+2,99556x^3-254,6226x^2+7039,566x-62906,76}{750}\\+\frac{-2,99478x^3+239,5824x^2-6214,1685x+52408,65+0,99818x^3-74,8635x^2+1846,633x-14972,7}{750}\\P(x) = \frac{-0,00011x^3+0,0126x^2-0,48175x+754,7775}{750} \\P(x) = -0,0000001467x^3 + 0,0000168x^2-0,00064233x+1,00637$

P(27,5) = 0,99836

Veja mais sobre a fórmula de Lagrange em:

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