Question

Considere a superposição de duas ondas que se propagam de acordo com as equações:

y1(x,t)= 0,5 sen(30piX + 10 pi t)

y2(x,t) =0,5 sen (30 piX - 10 pi t)

Nas quais todas as unidades adotadas pertencem ao SI (metro, segundo etc.).


Escreva a equação que descreve a onda estacionária resultante.

Em que posições se formarão os nós?

Em que posições se formarão os ventres?

Answer 1

A equação de uma onda segue a forma:

$y(x,t)=A.sen(kx-\omega t)$

Onde o sinal de ω indica o sentido em que a onda se propaga. Neste caso temos duas ondas em sentidos opostos sofrendo uma interferência construtiva ao se encontrarem.

Comparando as equações de onda apresentadas com a equação geral, podemos observar que:

A = 0,5, k = 30π e ω = 10π

Ao se encontrarem as onda se somam, gerando uma onda estacionária na forma:

$y(x,t)=[A.sen(kx)]sen\omega t$

Definindo nosso eixo X com o ponto 0 na origem (onde a corda/meio tem início), temos nosso primeiro nó em X=0.

Para encontrarmos os demais nós, precisamos observar que neste ponto o deslocamento da onda resultante é nulo, portanto o termo Sen(Kx) = 0. Para que K.x = 0, kx deve ser múltiplo inteiro de pi ou zero:

Kx = 0, π, 2π, 3π ...

Por definição, temos:

$k=\frac{2\pi}{\lambda}, \lambda=\frac{2\pi}{k} \therefore \lambda=\frac{2\pi}{30\pi}=0,66m$

Então para o termo kx ser nulo, precisamos que x seja:

$x=0, \frac{\pi}{k}, \frac{2\pi}{k}, \frac{3\pi}{k} \\ \\ x=0, 47, 94, 141, ...$

Os pontos de nó a partir de X estão sempre caminhando na forma n(π/k), onde n = número do harmônico.

Para encontrar os vales utilizamos a equivalência para π/2 (sen π/2 = 1), ou seja, nossa função tem seus máximos a cada valor de n(π/2k):

Espero ter ajudado!