Question

Considere a superposição de duas ondas que se propagam de acordo com as equações:

y1(x,t)= 0,5 sen(30piX + 10 pi t)

y2(x,t) =0,5 sen (30 piX - 10 pi t)

Nas quais todas as unidades adotadas pertencem ao SI (metro, segundo etc.).


Escreva a equação que descreve a onda estacionária resultante.

Em que posições se formarão os nós?

Em que posições se formarão os ventres?

Answer 1

A equação de uma onda senoidal segue a forma:

$y(x,t)=A.sen(kx-\omega t)$

Comparando as equações de onda apresentadas com a equação geral, podemos observar que:

A = 0,5, k = 30π e ω = 10π

Onde o sinal de ω indica o sentido em que a onda se propaga. Neste caso temos duas ondas em sentidos opostos sofrendo uma interferência construtiva ao se encontrarem.

Ao se encontrarem as onda se somam, gerando uma onda estacionária na forma:

$y(x,t)=[A.sen(kx)]sen\omega t = y(x,t)=1sen[(30\pi)x]sen(10\pi)t$

Para encontrarmos os demais nós, precisamos observar que neste ponto o deslocamento da onda resultante é nulo, portanto o termo Sen(Kx) = 0. Para que K.x = 0, kx deve ser múltiplo inteiro de pi ou zero:

Kx = 0, π, 2π, 3π ...

Por definição, temos:

$k=\frac{2\pi}{\lambda}, \lambda=\frac{2\pi}{k} \therefore \lambda=\frac{2\pi}{30\pi}=0,66m$

Então para o termo kx ser nulo, precisamos que x seja:

$x=0, \frac{\pi}{k}, \frac{2\pi}{k}, \frac{3\pi}{k} \\ \\ x=0, \frac{\pi}{30\pi},\frac{2\pi}{30\pi},\frac{3\pi}{30\pi}, ...$

O zero será sempre nosso ponto de origem (onda a corda está presa), portanto sempre será um ponto de nó.

Os pontos de nó a partir de X estão sempre caminhando na forma n(π/k), onde n = número do harmônico.

Para encontrar os vales utilizamos a equivalência para π/2 (sen π/2 = 1), ou seja, nossa função tem seus máximos a cada valor de n(π/2k):

$x=1, \frac{\pi}{2*30\pi}, \frac{\pi}{30\pi}, \frac{3\pi}{2*30\pi}, ...$

Espero ter ajudado!