Question

Considere a soma: S = sen^2(11°) + sen^2 (12°) + ... + sen^2(79°). Usando o fato que sen(90° - x) = cos(x), determine o valor se 2S.​

Answer 1

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Answer 2

O valor da soma 2S é 65.

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas são obtidas a partir do círculo trigonométrico e são periódicas. O domínio destas funções é o conjunto dos números reais. As principais funções trigonométricas são:

• seno: y = sen x; período = 2π; imagem = [-1, 1];

• cosseno: y = cos x; período = 2π; imagem = [-1, 1];

• tangente: y = tan x; período = π; imagem = ]-∞, +∞[.

Sabendo que sen(90° - x) = cos(x), temos que a soma S pode ser escrita como:

S = [sen²(11°) + sen²(79°)] + [sen²(12°) + sen²(78°)] + ... sen²(45°)

Note que podemos escrever um número em função da subtração dele por 90°, ou seja:

S = [sen²(11°) + sen²(90° - 11°)] + [sen²(12°) + sen²(90° - 12°)] + ... + sen²(45°)

S = [sen²(11°) + cos²(11°)] + [sen²(12°) + cos²(12°)] + ... + sen²(45°)

Da identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1, temos que a soma S será a soma de vários 1's e sen²(45°):

S = [1] + [1] + ... + sen²(45°)

Ao agrupar de dois em dois, teremos (79 - 11)/2 = 34 grupos que somam 1, logo:

S = 34·1 + sen²(45°)

O valor de 2S é:

2S = 2·(34 + sen²(45°))

2S = 64 + 2·0,5

2S = 65

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