Question

Considere a situação abaixo e assinale o item
correto:
a) a menina consegue necessariamente
completar o looping.
b) a menina consegue completar o looping
apenas da esquerda para a direita
c) a menina consegue completar o looping, se
além da altura possuir alguma velocidade.
d) a menina consegue completar o looping,
apenas se estiver acoplada à pista.

Answer 1

Olá.

Esse é um exercício interessante, e a princípio poderíamos pensar que se a menina está na mesma altura que o topo do loop, então ela terá a mesma energia potencial que o topo do loop, e por isso completaria. Porém, isso não é verdade, como veremos. Mas por que?

Se quisermos que a menina complete o loop, a resultante das forças que atua no topo precisa ser a centrípeta. Se equacionarmos, quer dizer que:

$\text{Topo:}~F_r = F_{cp}$

Vamos supor que o loop tenha raio R e que o círculo tangencie o chão. É uma aproximação razoável a se fazer. No topo, teríamos a força normal que o loop exerce sobre a menina e o peso dela, ambos na direção radial. Porém, para termos a menor velocidade, vamos fazer N = 0, isto é, a menina está na iminência de perder contato com o loop.

$N+P = F_{cp}\\\\0+\not{m}\cdot g= \dfrac{\not{m}\cdot v^2}{R}\\ \\ v=\sqrt{gR}$

Para ela chegar a essa velocidade, de que altura deveria iniciar a descida supondo que estava em repouso? Vamos desprezar o atrito(isso seria um erro catastrófico na prática, mas vamos ficar só na teoria por aqui) e aplicar a conservação da energia.

$E_p_1+E_c_1=E_p_2+E_c_2\\ \\mgH+0=mg(2R)+\dfrac{mv^2}{2}\\ \\ gH = 2gR + \dfrac{(\sqrt{gR})^2}{2}$

Veja que substituímos v pela velocidade necessária para completar o looping que calculamos acima. Continuando:

$gH=2gR+\dfrac{gR}{2}\\ \\ H = 2R+\dfrac{R}{2}\\ \\ H = 2,5R$

Então, sem atrito, para completar o loop a menina precisaria estar com uma altura de dois raios e meio para completar o loop. Vemos na figura que ela está a 2 raios apenas. Então se ela partisse do repouso, não conseguiria completar a volta.

Então como ela conseguiria? Aumentando a sua energia inicial. O modo mais simples seria ela com uma velocidade inicial nesse ponto suficiente para atingir a energia necessária de $mg(2,5R)$ [Energia potencial para completar o loop que encontramos acima].

Portanto, ficamos com a alternativa C, consegue se possuir alguma velocidade(embora não seja qualquer velocidade).