Question

considere a serie Sn=x+2x²+3x³+4x^4x^4+...+nx^n em que |x|<1 o imite de Sn qundo n tende ao infinito é?

Answer 1

Com a definição de serie geométrica, temos como resposta

$S=\dfrac{x}{\left(1-x\right)^2}$ quando n tende ao infinito

Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica

Vamos considerar a  seguinte equação $S=1+2x+3x^2+4x^3+....+nx^{n-1}$

• multiplicando ambos os lados da equação por x, teremos:

$Sx=x+2x^2+3x^3+4x^4+....+nx^n$

• Subtraindo a 2ª equação da 1ª equação:

$S-Sx=1+x+x^2+x^3+....+x^{n-1}+nx^n$

$S\left(1-x\right)=1+x+x^2+x^3+....+x^{n-1}+nx^n$

Para uma série geométrica infinita com o primeiro termo a= 1 e razão comum = r e | r | < 1 a soma infinita existe e tem o seguinte valor:

$\sum _{i=1}^{\infty }\left(a_i\right)=\dfrac{a}{1-r}$

Assim, a equação  pode ser reescrita da seguinte forma

$S\left(1-x\right)=\dfrac{1}{1-x}$

$S=\dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}$

∴$S=\dfrac{x}{\left(1-x\right)^2}$

Saiba mais sobre série geométrica:https://brainly.com.br/tarefa/6136598

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