Question

Considere a série Sn= x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 +...+ nx^n em que |x| > 1. O limite Sn quando n tende ao infinito é:
a) x/(x-1)
b) x^2/(x-1)
c) x/2(x-1)
d) x^2/(1-x^2)
e) x/(x-1)^2

Answer 1

A série apresenta é a série de Taylor da função $\dfrac{x}{(x-1)^2}$

Para estudar o comportamento desta série, precisamos ter algum conhecimento sobre a série de Taylor.

Você pode ver uma explicação mais detalhada sobre a série de taylor no link https://brainly.com.br/tarefa/42734949

Aqui, eu vou usar apenas a representação da série:

$f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} \left(f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)\dfrac{(x-a)^2}{2!}+f'''(a)\dfrac{(x-a)^3}{3!}++f^n(a)\dfrac{(x-a)^n}{n!}\right)$

Observe agora a série dada no problema e veja que:

$f''(a) = 2\cdot2!\,\,\,f'''(a) = 3\cdot3!\,\,\,\\f^n(a) = n\cdot n!$

(repare que o n! resultante da derivada cancela o n! do denominador)

Agora, lembre que usamos as séries de taylor para trabalhar com frações do tipo  $\frac{1}{(1-x)}$

Para a função $\frac{1}{(1-x)}$ temos:

$\frac{1}{(1-x)} = 1+x+x^2+...+x^n$

E adicionar uma potencia de x no numerador vai servir apenas para elevar a potencia dos termos da série:

$\frac{x}{(1-x)} =x\cdot \frac{x}{(1-x)}=x\cdot( 1+x+x^2+...+x^n)$

Com isto já fica claro que a resposta não está nas letras a), b) ou c).

Resta agora fazer a expansão da letra d) e e):

Ao fazer a expansão da letra d)

Obtemos $f(x) = x+ x^3+ x^5 + ...+ x^{n+1}$

Ao fazer a expansão da letra e)

Obtemos $f(x) = x+ 2x^2 + 3x^3+ 4x^4 + ...+ nx^{n}$