Question

Considere a série de potência a seguir
$\sum_{\substack{n=0}}^{\infty}(-1)^n \dfrac{x^n}{3^n(n+1)}$
Identifique a alternativa que apresenta seu raio de convergência.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) Infinito

Answer 1

• O raio de convergência dessa série é igual a 3, alternativa D).

Para determinarmos o raio de convergência de uma série, devemos aplicar primeiramente o teste da razão ( critério d'Alembert ).

O teste da razão é dado da seguinte forma

                        $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L \end{gathered} }$

Onde temos que se L for menor que 1, série irá convergir e se for maior que 1 a série irá divergir.

Aplicando o teste da razão na sua série, temos que

                   $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} \sum^{\infty}_{n=0} (-1)^n\cdot \frac{x^n}{3^n(n+1)} \end{gathered}$

         $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{n \to \infty} \left|\frac{ (-1)^{n+1}\cdot \frac{x^{n+1}}{3^{n+1}(n+1+1) }}{ (-1)^{n}\cdot \frac{x^{n}}{3^{n}(n+1) }} \right| =L\end{gathered} }$

Sabemos que como estamos trabalhando com módulo, vamos considerar tos números negativos sendo positivos, lembrando também que 1 elevado a qualquer coisa é igual a 1, logo

         $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{n \to \infty} \left|\frac{ 1^{n+1}\cdot \frac{x^{n+1}}{3^{n+1}(n+2) }}{ 1^{n}\cdot \frac{x^{n}}{3^{n}(n+1) }} \right| =L\end{gathered} }$

             $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{n \to \infty} \left|\frac{ \frac{x^{n+1}}{3^{n+1}(n+2) }}{ \frac{x^{n}}{3^{n}(n+1) }} \right| =L\end{gathered} }$

Vamos agora fazer uma bela jogada, temos que a multiplicação de bases iguais somam-se os expoentes, logo

               $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{n \to \infty} \left|\frac{ \frac{x^{n}\cdot x}{3^{n}\cdot 3(n+2) }}{ \frac{x^{n}}{3^{n}(n+1) }} \right| =L\end{gathered} }$

  $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\!\diagup\!\!\!\!x^{n}\cdot x}{\!\diagup\!\!\!\!3^{n}\cdot 3(n+2) }\cdot \frac{\!\diagup\!\!\!\!3^{n}(n+1)}{\!\diagup\!\!\!\!x^n } \right| =L\end{gathered} }$

• Ficamos então

               $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} \lim_{n \to \infty} \frac{ x(n+1)}{ 3(n+2) } =L\end{gathered}$

Perceba que x/3 é como se fosse uma constante, pois o limite é com o n, logo

               $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} \frac{|x|}{3}\cdot \lim_{n \to \infty} \frac{ (n+1)}{ (n+2) } =L\end{gathered}$

               $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{|x|}{3}\cdot \underbrace{\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{n}{n}+\frac{1}{n}}{ \frac{n}{n}+\frac{2}{n} }}_{\rightarrow 1} =L\end{gathered} }$

               $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} \frac{|x|}{3} =L\end{gathered}$

Temos o valor de L, agora , como queremos o raio de convergência, faremos L<1, logo

            $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} L<1\end{gathered}$

            $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} \frac{|x|}{3}<1\end{gathered}$

           $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} \therefore \boxed{ |x| <3}\end{gathered}$

Portanto, o raio de convergência é igual a 3.

 

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