Question

considere a sequencia infinita definida pelo somatorio sn=n (n+2) para todo n e N*. determine o termo geral dessa sequencia e os seus cinco primeiros termos

Answer 1

Sabemos que

$S_{n-1}+a_{n}=S_{n}$


isto é, a soma de todos os termos até o de ordem $n$ é obtida somando o termo de ordem $n$ ao resultado da soma de todos os termos até ordem $n-1.$


Por convenção, $S_{0}=0,$ pois nenhum termo foi somado para este resultado. Note que, de fato,

$S_{0}+a_{1}=S_{1}\;\;\Leftrightarrow\;\;0+a_{1}=S_{1}$


$\bullet\;\;$ Pela fórmula da soma da sequência, temos

$S_{n-1}=(n-1)\,[(n-1)+2]\;\;\Rightarrow\;\;S_{n-1}=(n-1)\,(n+1)\\ \\ S_{n}=n\,(n+2)$


$\bullet\;\;$ Queremos encontrar a fórmula do termo geral para a sequência. Então, devemos ter


$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\\ \\ a_{n}=n\,(n+2)-(n+1)\,(n-1)\\ \\ a_{n}=n^{2}+2n-(n^{2}-1)\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}a_{n}=1+2n \end{array}}\;\;\;\;\;(n\geq 1)$


Esta sequência é uma progressão aritmética, cujo primeiro termo é $3,$ e a razão de crescimento é $r=2:$


$\bullet\;\;$ A sequência com os cinco primeiros termos listados é

$(3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,\ldots)$