Question

Considere a sequencia dada recursivamente x1=4, xn=(xn-1)². Determine uma formula fechada para essa sequencia.

Answer 1

A formula fechada para esse sequencia é

                    $4^{2^{n-1} }$

Sequencia recursiva

Uma sequência é dita recursiva ou recorrente quando determinado termo pode ser calculado em função de termos antecessores.

Ex: 4, 7, 10, 13, 16, 19...(Observe que o termo seguinte e sempre o termo anterior somado por 3, veja o segundo elemento 7 é o termo anterior ou seja 4 adicionado com 3, observe o terceiro elemento 10 e o termo anterior ou seja o segundo termo (7) adicionado com 3)

Com essa informação vamos para nossa questão

$x_{1}$ = 4

$x_{n}$ = $(x_{n} -1)^{2}$

Observe que o elemento $x_{n}$ é o elemento anterior elevado ao quadrado, por exemplo $x_{5} = (x_{5} -1)^{2}$⇒ $x_{5} =(x_{4} )^2$, logo e uma sequencia recursiva.

Agora vamos para analise da sequencia

$x_{1 }= 4$

para n=2

$x_{2} = (x_{2}-1)^2$ ⇒  $x_{2} =(x_1)^2$ ⇒ $\fbox{x_2=4^2}$$x_2=4^2$ ⇒ $x_2=4^{2^{1$

para n=3

$x_3=(x_3-1)^2$ ⇒ $x_3=(x_2)^2$ ⇒$x_3=(4^2)^2$⇒$x_3=4^{2.2}$⇒ $x_3=4^{2^{2}$

para n=4

$x_4=(x_4-1)^2$ ⇒ $x_4=(x_3)^2$ ⇒ $x_4 = (4^{2.2})^2$ ⇒ $x_4=4^{2.2.2$ ⇒ $x_4=4^{2^{3$

Veja que a potência da potência e sempre n - 1 .

Logo para n=n

$x_n=4^{2^{n-1}}$

Assim  uma formula fechada para essa sequencia é   $x_n=4^{2^{n-1}}$

Espero te ajudado, bons estudos!!!

Para mais conhecimento:

https://brainly.com.br/tarefa/2508691

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