Question

Considere a sequência a seguir, em que o lado de cada quadrado é metade do lado do quadrado anterior. Obtenha a soma das áreas dos vinte primeiros quadrados.
Obs: A medida do lado do primeiro quadrado é 1.

Answer 1

A soma das áreas dos vinte primeiros quadrados é igual a $S=\frac{1}{3}(\frac{4^{20}-1}{4^{19}})$.

Como o primeiro quadrado possui lado 1, então o segundo quadrado possui lado 1/2, o terceiro quadrado possui lado 1/4, o quarto quadrado possui lado 1/8 e assim por diante.

Além disso, temos que a área de um quadrado é igual ao produto de suas dimensões.

Sendo assim,

O primeiro quadrado tem área 1.1 = 1;

O segundo quadrado tem área (1/2).(1/2) = 1/4;

O terceiro quadrado tem área (1/4).(1/4) = 1/16;

E assim por diante.

Observe que as áreas formarão uma Progressão Geométrica de razão q = 1/4.

Para calcular a soma das áreas dos vinte primeiros quadrados utilizaremos a fórmula $S=\frac{a_1(q^n - 1)}{q-1}$.

Portanto,

$S=\frac{1((\frac{1}{4})^{20}-1)}{\frac{1}{4}-1}$

$S=\frac{1}{3}(\frac{4^{20}-1}{4^{19}})$.

Observe que esse número é muito grande. Sendo assim, não é preciso desenvolvê-lo.

Answer 2

S_{20}=1^2+\left( \frac{1}{2} \right )^2 +\left( \frac{1}{4} \right )^2 + ... = \dfrac{1.\left[ 1- \left(\dfrac{1}{4} \right )^{20} \right ]}{1-\dfrac{1}{4}}

= \dfrac{4}{3}\left( 1-\dfrac{1}{2^{40}} \right )