Question

Considere a sequência 1,2,3,4,...,1000 dos números naturais de 1 a 1000. A seguir troque todos os números
múltiplos de 3 por seus sucessores. Depois troque todos os números múltiplos de 7 da nova sequência pelos
seus antecessores. Quantos termos da primeira sequência ainda aparecem, pelo menos uma vez, na última
sequência obtida?

Answer 1

Resposta:

Acho que 704

Explicação passo a passo:

Bom, não sei se está certo pois não consegui encontrar o gabarito dessa prova, parece que nunca divulgaram um sequer, pela data que você postou essa questão você provavelmente está enfrentando o mesmo problema que eu...

Bom, o jeito que eu fiz foi o seguinte: tirar todos os múltiplos de 3 e de 7 no conjunto de 1000 números formado pela sequencia {1,2,3,4...1000}, depois como os número obtidos pelos sucessores do múltiplos de 3 e os antecessores dos múltiplos de 7 terão apenas as seguintes ocasiões: ou são múltiplos de 7 ou de 3 respectivamente ou são números que já estão no conjunto números de 1 a 1000 menos os múltiplos de 3 e de 7.

Exemplo: os sucessores dos múltiplos de 3 são: {4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,22,25,28...}

Note que não há múltiplos de 3 nessa sequência, apenas ocasionais múltiplos de 7.

Podemos expressar matematicamente essa sequência por:  3n + 1 = 3x

em que tanto n quanto x são números naturais, manipulando matematicamente temos:

3n - 3x = 1

n - x = 1/3    ( n menos x é igual a um terço)

como n e x são naturais, obrigatoriamente, então essa expressão é impossível, logo não há múltiplo de 3 nessa sequência)

3n + 1 = 7x

x = (3n + 1)/7

note que há alguns números naturais n e x que satisfazem essa condição, logo esse sequência tem alguns números múltiplos de 7

Fazendo esse mesmo processo com os antecessores do múltiplos de 7 temos que esse conjunto não tem múltiplos de 7 mas tem de 3, chegando em x = (7n-1)/3

Assim o conjunto solução da questão será:

(conjunto do 1 ao 1000) - (múltiplos de 3 ou de 7) + (alguns poucos múltiplos de 3 e de 7 nos números criados pelos sucessores dos múltiplos de 3 e antecessores dos múltiplos de 7)

conjunto do 1 ao 1000:

1000 elementos

Conjunto múltiplos de 3 ou 7:

há elementos que são ambos múltiplos de 3 e de 7, ao notar que o mmc dele é 21, percebemos que a cada 7 elementos múltiplos de 3 um é múltiplo de 7

múltiplos de 3 no conjunto de 1 a 1000:

parte inteira da razão 1000/3 = 333

um sétimo disso é 47

múltiplos de 7  no de 1 a 1000:

lógica semelhante, dá 142

o conjunto disso tudo será:

(múltiplos de 7) + (múltiplos de 3) - (múltiplos de 3 e de 7)

Note que os múltiplos de 3 e de 7 são contados duas vezes ao somar os múltiplos de  7 e de 3, por isso subtrai

Assim, esse conjunto será: 333+142-47 = 428

Logo, o conjunto dos números de 1 a 1000 que não contém múltiplos de 3 ou de 7 é: 1000-428= 572

Primeira parte concluída

Segunda parte: buscar os múltiplos de 3 e de 7 nessa sequência de antecessores e sucessores

voltando a essas duas fórmulas x = (3n + 1)/7 e x = (7n-1)/3

Lembrando que 3n e 7n são os números múltiplos de 3 e de 7 no intervalo de 1 a 1000

Assim precisamos ver quais números x admitem essa condições, para isso vamos usar todo o conjunto de valores múltiplos de 3 e de 7

múltiplos de 3 : {3,6,9,12...999}

múltiplos de 7: {7,14,21...994}

colocando esses conjuntos nas respectivas equações, obtemos dois conjuntos de x:

x= {2, 9,16...142} ---> tem 21 elementos

x= {1,4,7...331} ----> tem 111 elementos

assim esse conjunto dos elementos de alguns poucos números múltiplos de 7 ou de 3 contém 111+21 = 132 elementos

a Solução será: (Números de 1 a 1000 sem múltiplos de 3 ou de 7)  + (alguns múltiplos de 3 ou 7)

572 + 132 = 704

Não sei se está certo mas não acho que esteja tão longe da resposta correta