Considere a sequência (1, - 1/2, 1/3, - 1/4,) na qual um termo e seu sucessor têm sinais opostos e denominadores consecutivos.Determine seu 17 termo
Soluções para a tarefa
Vamos analisar elemento por elemento:
1º elemento da sequência = 1 = 1/1
2º elemento da sequência = -1/2
3º elemento da sequência = 1/3
4º elemento da sequência = -1/4
Percebe que há algo de comum entre a posição do elemento na sequência e o denominador? São o mesmo número!
Assim, podemos dizer que o 17º elemento, com certeza, possui como denominador o número 17.
Agora a questão do sinal.
sinal do 1º elemento da sequência = +
sinal do 2º elemento da sequência = -
sinal do 3º elemento da sequência = +
sinal do 4º elemento da sequência = -
Percebe que para os elementos nas posições pares o sinal é negativo e para os elementos nas posições ímpares o sinal é positivo? Logo, o elemento da 17ª posição possui sinal positivo.
Veja o seguinte
1) Os termos de ordem par são negativos
Os termos de ordem impar são positivos ===> a17 é positivo
2) os denominadores são aumentados de 1 a partir de 1 logo
a1 = 1/n , a2 = -1/(n + 1) , a3 = 1 / (n + 2) , a4 = - 1 / (n + 3) , a5 = 1 / (n + 4), ...
seja n = 1 na sequancia dada .
Veja que a3 possui n +2 , a4 possui n + 3 ==> a17 = n + 16 ( 1 a menso que 17)
Resp a17 = 1 / (1 + 16) = 1/ 17
O livro te deu a fórmula geral da sequência. Você chega nessa fórmula através de percepção.
Vamos lá...
an= (1/n). (-1)^n+1
O fator 1/n simplesmente "joga"o valor de n, que representa a posição do elemento na sequência, como denominador de uma fração unitária.
Assim, se n = 1, 1/n = 1/1 = 1
Assim, se n = 2, 1/n = 1/2
Assim, se n = 3, 1/n = 1/3
Assim, se n = 4, 1/n = 1/4
Um outra forma de se escrever 1/n seria n^-1.
O fator (-1)^n+1 é o responsável pela troca do sinal.
Se n for ímpar, n+1 será par, logo, o resultado de (-1)^n+1 sempre será 1, que é o elemento neutro da multiplicação. Em outras palavras, se n for ímpar (1ª posição, 3ª posição, etc.) o valor de 1/n não será alterado.
n = 1 -> (-1)^2 = -1 . -1 = 1
n = 3 -> (-1)^4 = (-1 . -1) . (-1 . -1) = 1 . 1 = 1
n = 5 -> (-1)^6 = (-1 . -1) . (-1 . -1) . (-1 . -1) = 1 . 1 . 1 = 1
Se n for par, n+1 será ímpar, logo, o resultado de (-1)^n+1 sempre será -1. Se n for par (2ª posição, 4 ª posição, etc.) o valor de 1/n será multiplicado por -1, ou seja, será negativado.
n = 2 -> (-1)^3 = (-1 . -1) . -1 = 1 . -1 = -1
n = 4 -> (-1)^5 = ((-1 . -1) . (-1 . -1)) . -1 = (1 . 1) . -1 = 1 . -1 = -1
n = 6 -> (-1)^7 = (((-1 . -1) . (-1 . -1)) . (-1 . -1)) . -1 = ((1 . 1) . 1) . -1 = (1 . 1) . -1 = 1 . -1 = -1
Assim,
para n = 1, o elemento será 1/1 . 1 = 1
para n = 2, o elemento será 1/2 . -1 = -1/2
para n = 3, o elemento será 1/3. 1 = -1/3
para n = 4, o elemento será 1/4. -1 = -1/4, e assim por diante.