Considere a seguinte situação:
A base de um poste é associada ao ponto de coordenadas (0,0,0).
O topo do mesmo poste é associado ao ponto de coordenadas (0,0,5).
Um pássaro voa de forma retilínea do A=(2,3,4) para o ponto B=(-4,-1,7).
Baseado no que é descrito acima, o pássaro poderá ir do ponto A ao ponto B, de forma retilínea, sem colidir com o poste?
Soluções para a tarefa
O pássaro poderá ir do ponto A ao ponto B, de forma retilínea, sem colidir com o poste.
Precisamos determinar se a reta que passa pelos pontos O(0,0,0) e C(0,0,5) possui interseção com a reta que passa pelos pontos A(2,3,4) e B(-4,-1,7).
O vetor OC é igual a OC = (0,0,5).
Logo, as paramétricas da reta são iguais a:
{x = 0
{y = 0
{z = 5t.
O vetor AB é igual a AB = (-6,-4,3).
Logo, as paramétricas da reta são iguais a:
{x = 2 - 6k
{y = 3 - 4k
{z = 4 + 3k.
Observe que os vetores OC e AB são linearmente independentes.
Então, as duas retas são reversas ou concorrentes.
Igualando as duas retas, obtemos o sistema:
{0 = 2 - 6k
{0 = 3 - 4k
{5t = 4 + 3k.
Da primeira equação, obtemos k = 1/3 e da segunda equação, obtemos k = 3/4.
Como obtemos dois valores diferentes para k, então o sistema não tem solução.
Logo, as retas são reversas e com isso concluímos que o pássaro não colidirá com o poste.
Para que o pássaro vá do ponto A ao B, de forma retilínea, sem que haja a colisão com o poste, um dos pontos do conjunto de pontos entre (0,0,0) e (0,0,5) não pode pertencer a essa reta.
O vetor determinado pelos pontos AB é o vetor diretor da reta, suas coordenadas são dadas por:
B - A = (-4,-1,7) - (2,3,4) = (-6,-4,3) [vetor diretor]
Equação vetorial da reta:
(x,y,z) = (x1,y1,z1) + (a,b,c).t
Em que:
⇒ (x1,y1,z1) é um ponto qualquer da reta
⇒ (a,b,c) são as coordenadas do vetor diretor
⇒ t é o parâmetro
(x,y,z) = (2,3,4) + (-6,-4,3).t
Como o poste possui duas coordenadas fixas em 0 (x = 0 e y = 0), apenas a cota varia de 0 a 5, ou seja, resolvendo a equação:
(0,0,z) = (2,3,4) + (-6,-4,3).t
(0,0,z) = (2,3,4) + (-6t,-4t,3t)
(0,0,z) = (2-6t,3-4t,4+3t)
2 - 6t = 0 => t = 1/3
3 - 4t = 0 => t = 3/4
z = 4+3t (existem dois valores distintos de t)
O ponto (0,0,z) não pertence à reta, independente do valor de "z", já que os parâmetros são de valores diferentes ao resolver a equação. Assim, o pássaro poderá ir do ponto A ao ponto B, de forma retilínea, sem colidir com o poste.